Matemática (61) · Unidad 11 — Combinatoria y probabilidad
Probabilidad con extracciones y conteo
Cuando se sacan varias cosas sin devolverlas, hay dos caminos que dan lo mismo: contar grupos (combinatorio arriba y abajo) o seguir el árbol, multiplicando probabilidades que cambian en cada extracción. Lo que no se puede es mezclar: si el numerador tiene orden, el denominador también.
La explicación
Con reposición y sin reposición
Sacar una bolilla, anotarla y devolverla deja la urna igual: cada extracción tiene las mismas probabilidades que la anterior, y las probabilidades se multiplican sin más. Si no se devuelve, la segunda extracción se hace sobre una urna distinta: hay una bolilla menos, y si era roja, una roja menos.
con reposición: (4/10) · (4/10) = 4/25
sin reposición: (4/10) · (3/9) = 2/15
Dos caminos para lo mismo
Contando grupos. Sacar 2 cartas de un mazo de 40 a la vez es elegir un grupo de 2: hay (40 2) = 780 manos equiprobables. Los favorables se cuentan igual, con combinatorios. Las dos de espadas: (10 2) = 45, y P = 45/780 = 3/52.
Siguiendo el árbol. Primero sale una carta y después otra. La primera es de espadas con probabilidad 10/40; sabiendo que lo fue, la segunda lo es con 9/39, porque quedan 9 espadas entre 39 cartas. En un camino del árbol, las probabilidades se multiplican:
Dan lo mismo, y es un buen control hacer las dos. Lo que no se puede es contar favorables con orden (10 · 9) y dividir por posibles sin orden (780): da el doble de lo que es.
Exactamente uno, al menos uno
Al menos uno: por complemento, 1 − P(ninguno). Ninguna de oros son las (30 2) = 435 manos sin oros: P = 1 − 435/780.
Misma característica (mismo palo, misma paridad): se parte en casos y se suma. Mismo palo: 4 · (10 2) = 180 sobre 780.
Ordenamientos al azar
Si n cosas se ordenan al azar, las n! permutaciones son equiprobables.
- Todas en su lugar (cada etiqueta en su frasco): hay una sola permutación favorable, P = 1/n!. Con 6 ya es 1/720.
- Una determinada en su lugar: esa queda fija y las otras n − 1 se ordenan como quieran: (n − 1)!/n! = 1/n.
- Dos determinadas juntas en una fila: el bloque da 2 · (n − 1)! favorables, y P = 2 · (n − 1)!/n! = 2/n.
El problema de los cumpleaños
Si cada persona nace en uno de k meses (o días) con la misma probabilidad, y son m personas, hay kᵐ asignaciones equiprobables. Que caigan todas en meses distintos son casilleros sin repetir: k · (k − 1) · … · (k − m + 1).
P(al menos dos coinciden) = 1 − eso
Es un modelo: supone que todos los meses son igual de probables, que no es del todo cierto (febrero tiene menos días), pero da una muy buena aproximación. La sorpresa es lo rápido que crece la coincidencia: con 4 personas y los 7 días de la semana, ya es más probable que dos compartan día que lo contrario.
El control que conviene hacer siempre
Hacé la cuenta por los dos caminos (grupos y árbol): si coinciden, está bien. Y sumá los casos complementarios: «las dos de oros», «exactamente una» y «ninguna» tienen que sumar 1.
Se sacan 2 cartas al azar de un mazo español de 40, sin reposición. Calcular la probabilidad de que a) las dos sean de espadas, b) al menos una sea figura.
Planteo: sacar dos cartas es elegir un grupo de 2: hay (40 2) = (40 · 39)/2 = 780 grupos equiprobables.
a) Las dos de espadas: se eligen 2 entre las 10 espadas.
Por el árbol: la primera es espada con 10/40 y, dado eso, la segunda con 9/39.
b) Al menos una figura: lo contrario es «ninguna figura», o sea que las dos salgan de las 28 cartas que no son figura.
P(al menos una) = 1 − 63/130 = 67/130 ≈ 0,515
Control de b) de frente: exactamente una figura, 12 · 28 = 336 grupos; las dos figuras, (12 2) = 66. Total 336 + 66 = 402, y 402/780 = 67/130 ✔
Dónde se pierde el punto: en b), sumar 12/40 + 12/40 = 3/5. Esa suma cuenta dos veces los grupos con dos figuras, y además usa 12/40 para la segunda carta como si la primera se hubiera devuelto.
Cuatro personas elegidas al azar. Suponiendo que cada una nació en cualquiera de los 7 días de la semana con la misma probabilidad, calcular la probabilidad de que a) las cuatro hayan nacido en días distintos, b) al menos dos hayan nacido el mismo día de la semana.
Planteo: cada persona tiene 7 días posibles, así que hay 7⁴ = 2401 asignaciones, todas equiprobables.
a) Días distintos: casilleros sin repetir, uno por persona.
P = 840/2401 ≈ 0,35
b) Al menos dos coinciden: es el complemento de a).
Con sólo 4 personas y 7 días, es casi el doble de probable que haya una coincidencia a que no la haya. Es el mismo fenómeno que hace que, en un aula de 23 estudiantes, sea más probable que no que dos cumplan años el mismo día.
Control: con dos personas, P(distintos) = 6/7, y con la fórmula, (7 · 6)/7² = 6/7 ✔ Cada persona que se suma multiplica por una fracción menor que 1 (6/7, después 5/7, después 4/7), así que P(distintos) tiene que bajar: 6/7 ≈ 0,86, luego 0,61, luego 0,35 ✔
Dónde se pierde el punto: dividir por 7 · 6 · 5 · 4 en vez de 7⁴, que da probabilidad 1. Los posibles incluyen las asignaciones que repiten días.
Dónde se cae la mayoría
- Mezclar orden y no orden: favorables con orden (10 · 9) sobre posibles sin orden ((40 2)) da el doble.
- En «exactamente una», seguir un solo camino del árbol: la que cumple puede salir primera o segunda.
- Sin reposición, usar la misma probabilidad en la segunda extracción: después de sacar una, la urna cambió.
- Calcular «al menos uno» sumando las probabilidades de cada extracción: con dos cartas, 1/4 + 1/4 cuenta dos veces el caso en que salen las dos.
- En los cumpleaños, dividir por k · (k − 1) · … en vez de por kᵐ: los posibles son todas las asignaciones, también las que repiten.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Probabilidad con extracciones y conteo →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — Las palabras de ALFALFA y tres fichas de una bolsa20 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 11
Combinatoria y probabilidad