Matemática (61) · Unidad 11 — Combinatoria y probabilidad
Probabilidad clásica: casos favorables sobre casos posibles
Si todos los resultados de un experimento tienen la misma chance, la probabilidad de un suceso es la fracción de resultados que lo cumplen: favorables sobre posibles. Todo el trabajo es contar bien las dos cosas, y asegurarse de que los resultados que contaste de verdad son igual de probables.
La explicación
Experimento, resultados y sucesos
Un experimento aleatorio es algo cuyo resultado no se puede predecir: tirar un dado, sacar una carta, elegir un número al azar. El conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio muestral (Ω). Un suceso es cualquier conjunto de resultados: «sale par» es el suceso {2, 4, 6} del dado.
La regla de Laplace
Si los resultados de Ω son equiprobables (ninguno tiene más chance que otro), la probabilidad de un suceso A es:
= #A / #Ω
Siempre da entre 0 y 1: vale 0 si ningún resultado cumple A (suceso imposible) y 1 si todos lo cumplen (suceso seguro). Si una cuenta te da más que 1 o negativa, hay un error, sin revisar nada más.
El complemento y el «o»
P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B)
El complemento es el mismo atajo de contar: «al menos un 6» es 1 − P(ningún 6). La segunda fórmula es la regla de la suma con la parte común restada; si A y B no pueden pasar juntos, P(A y B) = 0 y se suman directo.
Los objetos de siempre
- Monedas: n tiradas dan 2ⁿ secuencias equiprobables (con 3 tiradas, CCC, CCX, …, XXX: 8).
- Dos dados: 36 pares ordenados (primer dado, segundo dado), todos con la misma chance, aunque los dados sean iguales.
- El mazo español de 40: 4 palos (oros, copas, espadas y bastos) de 10 cartas cada uno, numeradas 1 a 7, 10, 11 y 12. Las figuras son la sota (10), el caballo (11) y el rey (12): hay 12. De cada número hay 4 cartas, una por palo.
- Un número al azar entre 1 y N: hay N posibles. Los múltiplos de d son la parte entera de N/d (entre 1 y 62, múltiplos de 4 hay 15, porque 62/4 = 15,5).
- Un número de k cifras al azar: van del 10…0 al 99…9, o sea 9 · 10k−1 posibles. La primera cifra no puede ser 0.
La trampa: resultados que no son equiprobables
La regla: para usar favorables sobre posibles, contá en el espacio donde todo es equiprobable, que es el de los resultados distinguidos (36 para dos dados, 2ⁿ para n monedas), aunque el enunciado no los distinga.
El procedimiento
2. Chequeá que esos resultados sean equiprobables.
3. Contá los posibles con las reglas de conteo (producto, factorial, combinatorio).
4. Contá los favorables con las mismas reglas, o por complemento.
5. Dividí y simplificá.
El control que conviene hacer siempre
Sumá la probabilidad del suceso y la de su contrario: tiene que dar 1. Y si podés, contá de dos maneras distintas (de frente y por complemento, o por casilleros y con la lista): si no coinciden, alguna de las dos cuentas está mal.
Se elige al azar un número entero entre 1 y 30 (ambos incluidos). Calcular la probabilidad de que a) sea primo, b) no sea primo, c) sea primo o múltiplo de 5.
Planteo: hay 30 números posibles y todos tienen la misma chance.
a) Primo: los primos hasta 30 son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29. Son 10.
b) No primo: por complemento, sin contar nada.
Ojo que «no primo» incluye al 1, que no es primo ni compuesto: por eso conviene el complemento, y no contar compuestos.
c) Primo o múltiplo de 5: múltiplos de 5 hay 30/5 = 6 (5, 10, 15, 20, 25, 30). Pero el 5 es primo y múltiplo de 5 a la vez: si se suman 10 + 6, se cuenta dos veces.
Control de c): la lista de frente: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 y los múltiplos de 5 que no son primos, 10, 15, 20, 25, 30. Son 10 + 5 = 15 ✔
Dónde se pierde el punto: contestar 16/30 en c), sumando sin restar el 5.
Se tiran dos dados. Calcular la probabilidad de que a) la suma sea 10, b) salga al menos un 6, c) salgan dos números iguales. d) Alguien dice: «si los dados son iguales, hay 21 resultados posibles, así que la probabilidad de sacar dos 6 es 1/21». ¿Tiene razón?
Planteo: el espacio equiprobable son los 36 pares ordenados (primer dado, segundo dado).
a) Suma 10: (4, 6), (5, 5) y (6, 4).
b) Al menos un 6: ningún 6 son 5 · 5 = 25 pares.
c) Iguales: (1, 1), (2, 2), …, (6, 6).
Tiene una lectura directa: sea lo que sea que salga en el primero, el segundo tiene 1 chance en 6 de copiarlo.
d) No tiene razón. Los 21 resultados que se ven con dados iguales no son equiprobables: «un 5 y un 6» viene de (5, 6) y de (6, 5), dos pares; «dos 6» viene sólo de (6, 6). Contar 1/21 es tratarlos como si valieran lo mismo. La probabilidad es 1/36, distingas o no los dados.
Control: si los 21 fueran equiprobables, «los dos distintos» tendría probabilidad 15/21 ≈ 0,71. Con el espacio bueno es 30/36 ≈ 0,83. Tirando dos dados muchas veces, la frecuencia se acerca a 0,83 y no a 0,71: el experimento decide cuál de los dos modelos es el correcto.
Dónde se cae la mayoría
- Contar en un espacio que no es equiprobable: con dos dados sin distinguir hay 21 resultados, pero P(dos 6) no es 1/21 sino 1/36.
- Sumar P(A) + P(B) cuando A y B pueden pasar juntos: lo común se cuenta dos veces. Una carta de oro y figura es las dos cosas a la vez.
- Con los números al azar, contar mal los posibles: de 1 a N hay N, y los de k cifras empiezan en 10…0, no en 0.
- Olvidar que el mazo español no tiene 8 ni 9: son 10 cartas por palo, y las figuras son 10, 11 y 12.
- Dar una probabilidad mayor que 1 sin sospechar: es la señal más clara de que se contaron favorables de más.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
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