Matemática (61) · Unidad 11 — Combinatoria y probabilidad
Ordenar: permutaciones, variaciones y anagramas
Ordenar n cosas distintas es llenar n casilleros sin repetir: n · (n − 1) · … · 1 = n!. Si sólo se ocupan k lugares, se corta el producto a los k primeros. Los que tienen que ir juntos se pegan en un bloque, y las letras repetidas se dividen, porque cambiarlas entre sí no cambia la palabra.
La explicación
Permutaciones: ordenar todo
Poner en fila 5 personas distintas es llenar 5 casilleros sin repetir: el primero tiene 5 candidatos, el segundo 4, y así hasta el último, que tiene 1. Ese producto tiene nombre:
(y por convención, 0! = 1)
Crece muy rápido: 5! = 120, 8! = 40320, 10! = 3628800. Por eso probar todos los órdenes a mano casi nunca es una opción: con 10 cables y un minuto por intento, serían casi siete años.
Variaciones: ordenar k de n
Si de 7 corredores sólo importan los tres del podio, se llenan 3 casilleros sin repetir: 7 · 6 · 5. Es el factorial cortado:
Sirve para asientos numerados, cargos distintos (presidente, secretario) y todo lo que sea elegir y además ordenar. Si el orden no importa, es otro tema: el de las combinaciones.
Lugares con restricciones
Como con los casilleros de siempre, lo restringido va primero. Si un pasante no puede hacer la tarea de laboratorio, llená primero esa tarea: 4 candidatos. Después el resto se reparte sin restricciones: 4 · 4! = 96. Si hay varios lugares restringidos (dos turnos de noche que no todos pueden cubrir), se llenan esos antes que nadie.
Los que van juntos: el bloque
2. Ordená los bloques y las personas sueltas: si eran n y el bloque junta k, quedan n − k + 1 unidades, que se ordenan de (n − k + 1)! maneras.
3. Multiplicá por los órdenes de adentro del bloque: k!. Si el orden interno está fijo («la madre a la izquierda del padre»), ese factor es 1.
4. Si piden que no estén juntos, es el complemento: total menos juntos.
Con varios bloques (parejas que van juntas), cada uno aporta su propio factor: 4 parejas juntas son 4! órdenes de parejas por 2⁴ órdenes internos.
Alternados
Si en una fila no pueden quedar dos del mismo grupo seguidos, el patrón queda armado de antemano. Con 5 de un grupo y 4 del otro, el único patrón es G G G… empezando por el grupo más grande: cada grupo se ordena en sus lugares, 5! · 4!. Con la misma cantidad en los dos, hay dos patrones (empieza uno o empieza el otro), y se multiplica por 2.
Anagramas: cuando hay repetidos
Las letras de CASA son 4, pero no hay 4! = 24 palabras distintas: cambiar entre sí las dos A no cambia nada. Cada palabra quedó contada 2! veces, así que se divide:
a, b, …: cuántas veces se repite cada letra
CASA da 4!/2! = 12. Con cifras pasa lo mismo, más una condición: un número no empieza con 0. Se cuentan todas las permutaciones y se restan las que tienen el 0 adelante, que son las permutaciones de las cifras que sobran.
Números entre dos cotas: casos por la primera cifra
«Entre 2000 y 5500» no es una condición sobre un solo casillero. Se parte según la primera cifra: las que dejan pasar cualquier cosa (2 o 4, en ese ejemplo), y la que obliga a mirar la segunda (el 5, que exige que la segunda sea chica). Cada caso se cuenta con casilleros y se suman.
El control que conviene hacer siempre
Probá la fórmula con un caso que entre en la cabeza. Tres personas con dos juntas: la fórmula da 2! · 2 = 4, y la lista es ABC, BAC, CAB, CBA ✔ Un anagrama de tres letras con dos iguales, OSO: 3!/2! = 3, y son OSO, OOS, SOO ✔ Y el orden de magnitud: con restricciones, siempre queda menos que n!.
Seis amigos, entre ellos Ana y Bruno, ocupan seis butacas seguidas en el cine. ¿De cuántas maneras pueden sentarse a) sin restricciones, b) si Ana y Bruno quieren estar juntos, c) si están juntos y Ana a la izquierda de Bruno, d) si Ana y Bruno no quieren estar juntos?
a) Sin restricciones: seis casilleros sin repetir.
b) Juntos: se pegan Ana y Bruno en un bloque. Quedan 5 unidades (el bloque y los otros cuatro), que se ordenan de 5! maneras. Adentro del bloque hay 2 órdenes.
c) Juntos y en un orden fijo: el bloque ya no se puede dar vuelta, así que el factor de adentro es 1.
Tiene sentido que sea la mitad de b): en la mitad de las maneras con los dos juntos, Ana está a la izquierda.
d) Separados: es el complemento de b). Contarlo de frente pediría ver en qué butacas puede estar cada uno.
Control de d) de frente: Ana y Bruno ocupan dos butacas no vecinas. De los 15 pares de butacas, 5 son vecinas (1-2, 2-3, 3-4, 4-5, 5-6), así que 10 no lo son. Por cada par, Ana y Bruno se ubican de 2 maneras y los otros cuatro de 4! = 24: 10 · 2 · 24 = 480 ✔
a) ¿Cuántos anagramas tiene la palabra CARACOL? b) ¿Cuántos números distintos se forman permutando las cifras de 4400669? En b), descartar los que arrancan con 0 y controlar el resultado con la proporción de ceros entre las cifras.
a) CARACOL: son 7 letras. La C aparece 2 veces, la A 2 veces, y R, O y L una vez cada una. Si todas fueran distintas habría 7! = 5040 órdenes, pero cada palabra quedó contada 2! · 2! = 4 veces (cambiando las dos C entre sí y las dos A entre sí).
b) Las cifras de 4400669: son 7 cifras: dos 4, dos 0, dos 6 y un 9. Todas las permutaciones:
Pero las que empiezan con 0 no son números de siete cifras. Si el 0 va adelante, las otras seis posiciones se llenan con 4, 4, 0, 6, 6, 9:
Fijate que ahí ya no se divide por el 2! del 0: queda un solo 0 entre las seis cifras que se permutan.
Control: la proporción de permutaciones con un 0 adelante tiene que ser la proporción de ceros entre las cifras, 2 de 7. Y 180/630 = 2/7 ✔
Dónde se pierde el punto: dividir 180 también por 2! · 2! · 2!, como si los dos 0 siguieran entre las cifras que quedan. Uno ya está fijo adelante.
Dónde se cae la mayoría
- Pegar el bloque y olvidarse de ordenar adentro: Ana-Bruno y Bruno-Ana son dos fotos distintas, salvo que el enunciado fije el orden.
- Contar mal las unidades después de pegar: 7 personas con 3 juntas son 5 unidades, no 4 ni 6.
- En los anagramas, no dividir por las repeticiones: n! cuenta cada palabra tantas veces como maneras hay de permutar las letras iguales.
- Con alternados de la misma cantidad, olvidarse de que hay dos patrones (empieza un grupo o empieza el otro).
- Con cifras repetidas y un 0 entre ellas, restar sólo «los que empiezan con 0» contados sin dividir por las repeticiones.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Ordenar: permutaciones, variaciones y anagramas →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — Las palabras de ALFALFA y tres fichas de una bolsa20 puntos · resuelto paso a paso
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