Matemática (61) · Unidad 11 — Combinatoria y probabilidad
Elegir sin orden: combinaciones
Cuando se elige un grupo y no importa en qué orden salen sus miembros, contar con casilleros cuenta cada grupo k! veces, una por cada orden. Por eso se divide: el número combinatorio (n k) = n! / (k!(n − k)!) cuenta grupos, no filas.
La explicación
El mismo grupo, contado muchas veces
De 9 voluntarios hay que elegir 3 para una campaña. Con casilleros saldría 9 · 8 · 7 = 504, pero esa cuenta distingue quién salió primero: «Lucía, Mateo, Sofía» y «Sofía, Lucía, Mateo» son la misma comisión y están contadas por separado. ¿Cuántas veces está cada comisión? Tantas como órdenes tienen sus 3 miembros: 3! = 6. Entonces hay 504/6 = 84 comisiones.
Eso, en general, es el número combinatorio:
= [n · (n − 1) · … · (n − k + 1)] / k!
La segunda forma es la de las cuentas: arriba, los k primeros factores de n!; abajo, k!. Por ejemplo, (11 3) = (11 · 10 · 9)/(3 · 2 · 1) = 165.
¿Importa el orden? La pregunta que decide todo
- Si los elegidos tienen roles distintos (presidente, secretario; oro, plata; butaca 1, butaca 2), el orden importa: son variaciones, n · (n − 1) · …
- Si forman un grupo sin roles (una comisión, una mano de cartas, los vértices de un triángulo), no importa: es el combinatorio.
Un truco para decidir: intercambiá a dos elegidos. Si el resultado cambia, importa el orden.
Propiedades que ahorran cuentas
(n k) = (n n−k)
La simetría dice que elegir los 3 que van es lo mismo que elegir los 8 que no van, de 11: (11 3) = (11 8). Conviene siempre calcular con el k más chico.
Figuras con puntos
Si ningún trío de puntos está alineado, cada trío es un triángulo y cada par es un segmento; con puntos sobre una circunferencia, cada cuatro son un cuadrilátero. Un triángulo no tiene orden de vértices, así que se cuentan con (n 3), los segmentos con (n 2) y los cuadriláteros con (n 4).
Grupos con composición: se multiplica por grupo y se suma por caso
2. Si la condición admite varias composiciones («más biólogos que químicos», «al menos dos de cada uno»), se escribe la lista de composiciones posibles, se cuenta cada una con el paso 1 y se suman: son casos que no se pisan.
3. Si hay «al menos uno», mirá si el complemento es un solo caso: (total) − (ninguno).
4. Si una persona tiene que estar, ya está: se eligen los otros k − 1 entre los n − 1 restantes. Si dos no pueden estar juntos: total menos los grupos que tienen a los dos.
La trampa clásica: para «al menos dos docentes y al menos dos estudiantes» en una comisión de 5, elegir 2 docentes, 2 estudiantes y «uno cualquiera de los que quedan». Eso cuenta la misma comisión varias veces, porque el «cualquiera» puede ser uno de los que después aparecen entre los fijos. Se parte en casos: 2 y 3, o 3 y 2.
Repartir en grupos
Repartir 12 pasantes en tres laboratorios, 5 al A, 4 al B y 3 al C: primero se eligen los 5 del A entre 12, después los 4 del B entre los 7 que quedan, y los 3 del C quedan solos. Se multiplica: (12 5) · (7 4) · (3 3). Los laboratorios tienen nombre, así que no se divide nada. (Si los grupos fueran iguales y sin nombre, como «formar tres equipos de cuatro», sí: cada reparto quedaría contado 3! veces.)
El control que conviene hacer siempre
Sumá los casos contra el total. Si partiste las comisiones de 4 según cuántos biólogos tienen (0, 1, 2, 3 o 4), las cinco cuentas tienen que sumar (12 4), el total sin condiciones. Si no dan, te sobró o te faltó un caso. Y chequeá que el combinatorio dé un entero: si al dividir por k! te queda con coma, hay un factor de más o de menos.
De un grupo de 9 voluntarios, entre ellos Lucía, hay que elegir 3. a) ¿Cuántas comisiones de 3 se pueden formar? b) ¿Y si los tres tienen cargos distintos: coordinador, tesorero y vocero? c) ¿Cuántas comisiones sin cargos incluyen a Lucía?
a) Sin cargos: es un grupo, no importa el orden.
b) Con cargos: intercambiar al coordinador con el tesorero da otra comisión, así que importa el orden: tres casilleros sin repetir.
Son 6 veces las de a), porque cada grupo de 3 puede repartirse los tres cargos de 3! = 6 maneras. Otra forma de verlo: primero elegís el grupo (84) y después le asignás cargos (6).
c) Con Lucía: ella ya está. Faltan 2 lugares, que se eligen entre los otros 8.
Control de c): las comisiones sin Lucía son (8 3) = 56, y 28 + 56 = 84, el total de a) ✔ Otro control: cada voluntario está en la misma cantidad de comisiones, y cada comisión tiene 3, así que 84 · 3 / 9 = 28 ✔
Dónde se pierde el punto: en c), hacer (9 2) porque «falta elegir dos» sin sacar a Lucía de la lista.
En un instituto hay 7 biólogos y 5 químicos. Hay que formar una comisión de 4. a) ¿Cuántas comisiones tienen más biólogos que químicos? b) ¿Cuántas tienen al menos un químico?
a) Más biólogos que químicos: con 4 lugares, las composiciones posibles son 4 biólogos y 0 químicos, o 3 y 1 (con 2 y 2 hay empate, no «más»). Se cuenta cada una por separado:
3 B, 1 Q: (7 3) · (5 1) = 35 · 5 = 175
Son casos que no se pisan (una comisión tiene 3 biólogos o tiene 4), así que se suman:
b) Al menos un químico: de frente serían cuatro casos (1, 2, 3 o 4 químicos). El contrario es uno solo: ningún químico, o sea 4 biólogos.
Control: todas las composiciones juntas: 4-0 (35), 3-1 (175), 2-2 ((7 2) · (5 2) = 21 · 10 = 210), 1-3 (7 · 10 = 70) y 0-4 (5). Suman 35 + 175 + 210 + 70 + 5 = 495 = (12 4) ✔ Y las que tienen al menos un químico son todas menos la primera: 495 − 35 = 460 ✔
Dónde se pierde el punto: en a), contar sólo el 3 y 1, que es el que primero viene a la cabeza, y olvidar la comisión de puros biólogos, que también tiene «más biólogos».
Dónde se cae la mayoría
- Usar variaciones donde no hay roles: una comisión de 3 no es un podio, y 9 · 8 · 7 cuenta cada una 6 veces.
- Olvidarse de que (n k) = (n n−k) y hacer la cuenta larga: (15 13) se calcula como (15 2).
- En «al menos dos de cada grupo», elegir los mínimos y completar con «uno cualquiera»: cuenta la misma comisión varias veces.
- En «más de estos que de aquéllos», quedarse con un solo caso y olvidarse del extremo (todos de un grupo).
- Al repartir en grupos con nombre, dividir por el orden de los grupos: los laboratorios A, B y C no son intercambiables.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Elegir sin orden: combinaciones →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — Las palabras de ALFALFA y tres fichas de una bolsa20 puntos · resuelto paso a paso
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