Matemática (61) · Unidad 10 — Geometría
Planos en ℝ³
Un plano se describe con un punto y dos direcciones que no sean paralelas, o con una sola ecuación ax + by + cz = d. Las dos formas se conectan por el producto vectorial: las direcciones, cruzadas, dan la normal (a, b, c).
La explicación
Los planos más simples
Los tres planos coordenados tienen las ecuaciones más cortas posibles: el plano xy es z = 0, el xz es y = 0 y el yz es x = 0. Un plano paralelo a uno de ellos fija la misma coordenada en otro valor: el paralelo al plano xy que pasa por (0, 0, 1) es z = 1, y ahí están todos los puntos de la forma (x, y, 1), como (5, −2, 1) o (0, 3, 1).
La paramétrica: un punto y dos direcciones
u y v son dos direcciones no colineales (si fueran colineales, sólo se recorrería una recta). Por tres puntos A, B y C no alineados, las direcciones son u = B − A y v = C − A, y el punto de paso cualquiera de los tres. Tiene dos parámetros porque un plano tiene dos «grados de libertad»; la recta, uno.
Como en las rectas, la paramétrica no es única. Dos paramétricas describen el mismo plano cuando las direcciones de una están en la otra y comparten un punto; la forma práctica de decidirlo es pasar las dos a implícita y compararlas.
La implícita y la normal
Un vector perpendicular a u y a v es perpendicular a todo el plano: es la normal.
Π: ax + by + cz = d, d = ⟨n ; P⟩
La idea detrás: X está en Π exactamente cuando la flecha X − P es perpendicular a n, o sea ⟨n ; X − P⟩ = 0, y eso desarrollado es ax + by + cz = ⟨n ; P⟩. La implícita tampoco es única (multiplicarla por un número no nulo da la misma), pero sí es única «salvo múltiplos»: por eso para comparar dos planos conviene escribirlos con el mismo coeficiente fijado.
De paramétrica a implícita: n = u × v con las dos direcciones de la paramétrica, y d con su punto de paso.
De implícita a paramétrica: se despeja una variable. En x + 2y − z = 4, z = x + 2y − 4; con x = α e y = β queda X = α(1, 0, 1) + β(0, 1, 2) + (0, 0, −4).
Pertenencia: se reemplaza el punto en la implícita. Cuatro puntos son coplanares cuando el cuarto cumple la ecuación del plano de los otros tres.
Paralelos y perpendiculares a otra cosa
Plano perpendicular a una recta L: X = λw + Q, por un punto R: la dirección de la recta es la normal. Π: ⟨w ; X⟩ = ⟨w ; R⟩.
Plano paralelo a otro plano por un punto R: misma normal, otro d. Si el plano dado viene en paramétrica, primero se saca su normal con el producto vectorial. Dos planos con normales múltiplos son paralelos; si además sus ecuaciones son múltiplos incluido el d, son el mismo plano.
El plano que contiene a dos rectas
Depende de cómo sean las rectas (ver el tema anterior):
paralelas distintas →
n = v₁ × (P₂ − P₁)
alabeadas → no existe
coincidentes → hay infinitos
En los dos primeros casos d sale de cualquier punto de cualquiera de las dos. Con paralelas no sirve v₁ × v₂, porque da (0, 0, 0): la segunda dirección del plano es la flecha que va de una recta a la otra. Con alabeadas no hay plano: si lo hubiera, las dos rectas estarían en él y, siendo coplanares y no paralelas, se cortarían.
El control que conviene hacer siempre
Una implícita armada por tres puntos se controla reemplazando los tres: con el que usaste para el d da bien por construcción, así que el control verdadero son los otros dos. Y la normal se controla contra las dos direcciones: ⟨n ; u⟩ = 0 y ⟨n ; v⟩ = 0.
Sean A = (1, 0, 2), B = (3, 1, 2) y C = (0, 2, 5). a) Dar una ecuación paramétrica del plano Π que pasa por A, B y C. b) Calcular su normal y dar una ecuación implícita. c) Decidir si (2, 1, 3) pertenece a Π.
Planteo: dos direcciones desde A, su producto vectorial como normal, y el d con uno de los puntos.
a) Las direcciones y la paramétrica:
v = C − A = (−1, 2, 3)
Π: X = α(2, 1, 0) + β(−1, 2, 3)
+ (1, 0, 2)
u y v no son colineales (u tiene 0 en la tercera coordenada y v no), así que A, B y C no están alineados y el plano está bien definido.
b) La normal:
0·(−1) − 2·3, 2·2 − 1·(−1))
= (3, −6, 5)
Control: ⟨(3, −6, 5) ; u⟩ = 6 − 6 = 0 ✔ y ⟨(3, −6, 5) ; v⟩ = −3 − 12 + 15 = 0 ✔ El d, con A:
Π: 3x − 6y + 5z = 13
Control con los otros dos puntos: B: 9 − 6 + 10 = 13 ✔ C: 0 − 12 + 25 = 13 ✔
c) Pertenencia: 3·2 − 6·1 + 5·3 = 6 − 6 + 15 = 15 ≠ 13. No está. Con la paramétrica se llegaría a lo mismo, pero con un sistema de tres ecuaciones y dos incógnitas; la implícita lo resuelve en un renglón.
Dónde se pierde el punto: en la coordenada del medio de u × v. Con (3, 6, 5), A daría 13 pero B daría 9 + 6 + 10 = 25: el control con los otros dos puntos lo delata.
Sean L₁: X = λ(1, 2, 0) + (1, −1, 2), L₂: X = μ(0, 1, 1) + (2, 1, 2) y L₃: X = μ(0, 1, 1) + (2, 1, 3). ¿Existe un plano que contenga a L₁ y a L₂? ¿Y uno que contenga a L₁ y a L₃? Cuando exista, dar su ecuación implícita.
Planteo: antes de buscar el plano hay que saber cómo son las rectas: si se cortan, si son paralelas o si son alabeadas.
L₁ y L₂. Las direcciones (1, 2, 0) y (0, 1, 1) no son paralelas. Busco un punto común:
−1 + 2λ = 1 + μ → μ = 0
tercera: 2 = 2 + 0 ✔
Se cortan en (2, 1, 2). Entonces las dos direcciones son direcciones del plano y la normal es su producto vectorial:
= (2·1 − 0·1, 0·0 − 1·1, 1·1 − 2·0)
= (2, −1, 1)
d con (1, −1, 2): 2 + 1 + 2 = 5. Π: 2x − y + z = 5.
Control: el punto de L₂, (2, 1, 2), da 4 − 1 + 2 = 5 ✔ Y las direcciones son perpendiculares a la normal: ⟨(2, −1, 1) ; (1, 2, 0)⟩ = 0 ✔, ⟨(2, −1, 1) ; (0, 1, 1)⟩ = 0 ✔ Las dos rectas enteras están en Π.
L₁ y L₃. L₃ tiene la misma dirección que L₂ (no paralela a L₁). La igualdad da otra vez λ = 1 y μ = 0 con las dos primeras coordenadas, pero la tercera pide 2 = 3 + 0, que es falso. Son alabeadas, y no hay ningún plano que las contenga a las dos.
Se puede ver también así: el único plano que contiene a L₁ y tiene la dirección (0, 1, 1) es el Π de antes, y el punto (2, 1, 3) de L₃ da 4 − 1 + 3 = 6 ≠ 5. L₃ es paralela a Π pero no está en él.
Dónde se pierde el punto: hacer el producto vectorial de las direcciones de L₁ y L₃ y contestar un plano sin mirar si se cortan. Esa cuenta da una normal, pero el plano que sale contiene a una de las rectas y no a la otra.
Dónde se cae la mayoría
- Usar como direcciones del plano los puntos mismos (A y B) en lugar de las restas B − A y C − A.
- Calcular d con un punto que no es del plano: el d de la paralela sale del punto nuevo, no del plano de partida.
- Para el plano de dos rectas paralelas, hacer v₁ × v₂: da (0, 0, 0). La segunda dirección es P₂ − P₁.
- Declarar distintos dos planos porque sus ecuaciones no son idénticas: 2x − y + z = 3 y −4x + 2y − 2z = −6 son el mismo.
- Escribir z = 0 para el plano xz: ahí la que se anula es y. Cada plano coordenado anula la coordenada que no nombra.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Planos en ℝ³ →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — Un plano, su perpendicular y una recta que parece cortarla20 puntos · resuelto paso a paso
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