Matemática (51) del CBC, tema por tema

Matemática (51) es la del CBC de Medicina, Psicología, Farmacia y Bioquímica, Odontología, Veterinaria, Arquitectura y todas las carreras de Diseño. Mucha gente llega pensando que ya la vio en el secundario, y en parte es cierto: funciones, rectas, parábolas. Lo que cambia es lo que se pide. No alcanza con hacer la cuenta: hay que leer un gráfico, pasar de un enunciado a una función y decidir qué dato sale de dónde, y ahí se va la mayor parte de los puntos del parcial.

Abajo está el programa entero, en el orden de las prácticas: los preliminares y los números reales, funciones lineales, cuadráticas y polinómicas, la homográfica y los límites, exponenciales, logaritmos y trigonométricas, derivadas e integrales. No es la misma materia que Matemática (61), aunque compartan el nombre. Cada tema tiene su página con la explicación completa, un ejemplo resuelto paso a paso y los errores típicos, y de ahí se pasa a practicar con corrección en cada paso.

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Todos los temas

Unidad 0 — Preliminares

0.1 Potencias, raíces y sus propiedadesCasi todo error de cuenta del cuatrimestre nace acá: en un signo que se coló adentro de un paréntesis que no estaba, o en una raíz que alguien repartió sobre una suma. Las…
0.2 Fracciones y expresiones con letrasUna fracción con letras se opera igual que una con números: lo único nuevo es que ahora hay valores prohibidos, los que anulan un denominador. Y que simplificar es tachar…
0.3 Productos notables y factoreoDesarrollar y factorizar son el mismo camino recorrido en direcciones opuestas, y hay que saber andarlo para los dos lados: se desarrolla para operar y se factoriza para…
0.4 Del enunciado a la ecuaciónLo difícil de un problema con texto casi nunca es la cuenta: es decidir quién es la incógnita y escribir en símbolos lo que el enunciado dice en castellano. Y después, acordarse…

Unidad 1 — Números reales

1.1 La recta real, los intervalos y los conjuntosUn intervalo no es una notación nueva: es la forma corta de escribir un pedazo de la recta. Todo lo que vas a resolver este cuatrimestre —inecuaciones, dominios, conjuntos de…
1.2 Inecuaciones linealesUna inecuación se resuelve casi igual que una ecuación, con una sola diferencia que lo cambia todo: al multiplicar o dividir los dos lados por un número negativo, la desigualdad…
1.3 Inecuaciones con producto y cocienteCuando la incógnita aparece multiplicando o dividiendo, despejar deja de servir: lo que hay que estudiar es el signo de cada factor por separado. El cuadro de signos convierte ese…
1.4 Módulo: ecuaciones e inecuacionesEl módulo no es «sacarle el menos a los números»: es la distancia al cero. Si lo pensás como distancia, |x| 3 se resuelven mirando la recta, y los casos raros —|x| = −2, |x| ≥ −1—…
1.5 Distancia en la recta y en el planoLa fórmula de la distancia no es una fórmula nueva: es Pitágoras escrito con coordenadas. Y en cuanto la usás para buscar un punto desconocido, el ejercicio se convierte en una…

Unidad 2 — Funciones, rectas, parábolas y polinomios

2.1 Qué es una función: dominio, imagen y gráficoUna función no es una fórmula: es una fórmula más el conjunto de valores donde esa fórmula tiene permiso de existir. El dominio no se elige, se descubre mirando qué operaciones…
2.2 Función lineal: pendiente y ordenada al origenEn y = mx + b los dos números dicen todo: b es dónde arranca y m es cuánto sube por cada paso a la derecha. Con eso solo ya sabés graficarla, decir si crece y encontrar su cero…
2.3 Hallar la recta a partir de datosUna recta queda determinada por exactamente dos datos independientes, y siempre son los mismos dos: la pendiente y un punto por donde pasa. Todo el tema es reconocer, en cada…
2.4 Intersección de rectas y comparaciónIgualar dos funciones responde dónde valen lo mismo; cambiar ese igual por un mayor responde dónde una le gana a la otra. Es la misma cuenta, y la única diferencia es que la…
2.5 Función cuadrática: vértice e imagenCompletar cuadrados no es una gimnasia algebraica: es el truco que convierte cualquier parábola en una de la que ya sabés todo —dónde está el vértice y hacia dónde abre— sin…
2.6 Ceros, positividad y negatividad de la cuadráticaLos conjuntos de positividad no se sacan probando números al azar: se sacan de los ceros y de hacia dónde abre la parábola. Con esos dos datos el gráfico ya está decidido, y el…
2.7 Hallar la cuadrática a partir de datosCon los ceros o con el vértice ya tenés escrita la parábola salvo por un número: el a. Y ese a sale siempre del mismo lugar, de un punto extra que te dan para que la ecuación se…
2.8 Funciones polinómicas: ceros, multiplicidad y signoUn polinomio factorizado es un polinomio resuelto: cada factor grita su cero, y la multiplicidad de ese factor dice si el gráfico atraviesa el eje o apenas lo toca y rebota.
2.9 Continuidad y teorema de BolzanoSi una función continua pasa de negativa a positiva, en algún lado tuvo que valer cero: no puede saltar el eje sin tocarlo. Bolzano no te dice dónde está la raíz, pero te…
2.10 Composición de funcionesComponer es encadenar dos máquinas: la salida de una entra en la otra. Y como el orden de la cadena importa, f∘g y g∘f casi nunca dan lo mismo: confundirlos es el error más caro…
2.11 Función inversaLa inversa es la función que deshace lo que hizo la original: si f te llevó de 2 a 7, f⁻¹ te trae de 7 a 2. Por eso dominio e imagen se intercambian, y por eso los dos gráficos…

Unidad 3 — Función homográfica y límites

3.1 Función homográfica: dominio, imagen y cerosUna homográfica es una recta dividida por otra, y con eso solo ya sabés casi todo de ella: el denominador te dice qué x está prohibida, el numerador dónde cruza el eje x, y los…
3.2 Composición e inversa con homográficasComponer es meter una función adentro de la otra, y el orden importa muchísimo; invertir es deshacer el camino, y en una homográfica eso tiene un premio: la inversa es otra…
3.3 La idea de límite y los límites lateralesEl límite no pregunta cuánto vale la función en un punto: pregunta a qué número se están arrimando los valores de f cuando x se acerca. Son dos preguntas distintas y la diferencia…
3.4 Límite en el infinito y asíntotas horizontalesPara saber a qué altura se estabiliza un cociente de polinomios cuando x se va al infinito no hace falta calcular nada: alcanza con comparar los grados de arriba y de abajo, y hay…
3.5 Asíntotas verticalesQue el denominador se anule en un punto no alcanza para que haya asíntota vertical: si el numerador se anula en el mismo lugar, el factor se cancela y lo que queda es un agujero…
3.6 Hallar parámetros a partir de las asíntotasAcá el ejercicio va al revés: en vez de darte la función y pedirte las asíntotas, te da las asíntotas y te pide la función. Y cada dato del enunciado se traduce en una ecuación…

Unidad 4 — Exponenciales, logaritmos y trigonométricas

4.1 La función exponencialEn una exponencial la x está arriba, y eso cambia todo: el resultado nunca llega a cero pero se le acerca para siempre. Esa recta a la que se pega —la asíntota— es la que te va a…
4.2 El logaritmo y sus propiedadesEl logaritmo no es una cuenta rara: es la pregunta «¿a qué exponente?». Todo lo que te cuesta memorizar de sus propiedades es, en realidad, una propiedad de las potencias mirada…
4.3 Ecuaciones exponenciales y logarítmicasHay una sola idea: dejar la exponencial (o el logaritmo) sola de un lado y recién ahí aplicarle su inversa. Y una obligación que no es opcional: verificar en la ecuación original…
4.4 Dominio, imagen, asíntotas e inversaÉste es el ejercicio que más se toma de la unidad, y siempre pide lo mismo. Si lo hacés en el orden correcto, cada ítem te regala el siguiente: la asíntota da la imagen, la imagen…
4.5 Seno y coseno: amplitud, período e imagenEn f(x) = A·sen(Bx + C) + D cada letra hace una cosa sola y no se mezcla con las otras. Si sabés cuál es cuál, la imagen, el período, el máximo y el mínimo salen leyendo, sin…
4.6 Ecuaciones trigonométricas en un intervaloUna ecuación trigonométrica casi nunca tiene una sola solución, y ahí se pierde la mitad de los puntos. La calculadora te da una; la simetría te da la segunda del período; y…
4.7 Modelos: crecimiento y enfriamientoAcá la exponencial deja de ser un ejercicio y pasa a decir algo: cuánta gente va a haber, a qué temperatura va a estar el café. Y el logaritmo aparece siempre en la misma…

Unidad 5 — Derivadas

5.1 La derivada: qué mide y las reglas básicasLa derivada no es una fórmula más: es la pendiente de la recta tangente, y por lo tanto la velocidad con la que la función cambia en ese punto exacto. Todo lo que viene después de…
5.2 Producto, cociente y regla de la cadenaLas tres fórmulas se aprenden en diez minutos; lo que se tarda en aprender es cuál usar. La respuesta está siempre en la misma pregunta: cuál es la ÚLTIMA operación que hacés para…
5.3 La recta tangenteUna recta queda determinada por un punto y una pendiente, y la derivada te da la pendiente. Por eso hallar la tangente es siempre el mismo ejercicio de tres números, y siempre en…
5.4 Hallar parámetros con la recta tangenteEs el ejercicio de parcial de la unidad, y tiene una sola idea: una recta tangente encierra DOS datos, no uno — por dónde pasa y con qué inclinación —, y por eso alcanza para…
5.5 Crecimiento, decrecimiento y extremosEl signo de la derivada decide si la función sube o baja, y los cambios de signo son los máximos y los mínimos. Todo el estudio de una función se reduce a armar bien un cuadro de…
5.6 Estudio de funciones con exponenciales y logaritmosEs el mismo cuadro de signos de siempre, pero con dos agregados que deciden el ejercicio: el dominio del logaritmo recorta media recta antes de empezar, y la exponencial nunca se…
5.7 Problemas de optimizaciónAcá no te dan la función: la tenés que escribir vos. Derivar es el último paso y el más fácil; el ejercicio se gana o se pierde en el planteo, y sobre todo en usar la restricción…

Unidad 6 — Integrales

6.1 Primitivas e integrales inmediatasIntegrar es derivar al revés: buscar la función que, al derivarla, te da la que tenés. Y como eso lo cumplen infinitas funciones que difieren en una constante, la respuesta nunca…
6.2 Método de sustituciónSi en el integrando aparece una función y —multiplicando— su derivada, se la puede llamar u y la integral se derrumba a una de la tabla. Todo el método es reconocer ese par.
6.3 Integración por partesCuando el integrando es un producto de dos funciones de familias distintas, la sustitución no sirve. Partes cambia la integral por otra: el método funciona sólo si la nueva es más…
6.4 Integral definida y regla de BarrowLa integral definida nace de aproximar un área con rectángulos cada vez más finos, y Barrow dice que ese límite —que parece imposible de calcular— se obtiene con una simple resta…
6.5 Área entre curvasEl área entre dos curvas se calcula integrando la de arriba menos la de abajo. Todo el trabajo del ejercicio está en dos preguntas previas: entre qué valores, y cuál es la de…
6.6 Hallar parámetros y aplicaciones de la integralAcá la integral deja de ser el resultado y pasa a ser un dato: te dicen cuánto tiene que dar y hay que encontrar el parámetro, o te dan una aceleración y hay que llegar a la…

Parciales modelo, resueltos

Están escritos por nosotros con el temario y el formato de los que se toman. Los podés leer resueltos, o rendirlos sin corrección hasta entregarlos, como el de verdad.

Primer parcial resuelto paso a paso5 ejercicios · 25 preguntas · 120 minutos · se aprueba con 60
Segundo parcial resuelto paso a paso5 ejercicios · 25 preguntas · 120 minutos · se aprueba con 60

Los parciales resueltos de todas las materias