Matemática (51) · Unidad 5 — Derivadas
Estudio de funciones con exponenciales y logaritmos
Es el mismo cuadro de signos de siempre, pero con dos agregados que deciden el ejercicio: el dominio del logaritmo recorta media recta antes de empezar, y la exponencial nunca se anula, así que nunca aporta puntos críticos.
La explicación
Qué cambia respecto de un polinomio
El método no cambia: derivada, puntos críticos, cuadro de signos, clasificación. Lo que cambia son dos cosas, y las dos se resuelven antes de derivar:
- El dominio. Un polinomio vive en todo ℝ; una función con ln, no. Y el dominio manda sobre todo lo demás.
- Los factores que nunca se anulan. eu es siempre positiva, pase lo que pase con u. Eso simplifica muchísimo el cuadro de signos.
El dominio, que es el primer paso y no el último
eu(x) existe siempre
Si aparece ln x suelto, el dominio ya es (0, +∞) y nada de lo que pase con los negativos cuenta. Un punto crítico que caiga fuera del dominio se descarta, y los bordes del dominio parten la recta del cuadro de signos igual que los críticos.
La exponencial nunca se anula: el atajo
Después de derivar casi siempre se puede sacar eu de factor común. Y entonces:
O sea: los puntos críticos salen del otro factor. Y para el signo pasa lo mismo — como eu > 0 siempre, el signo de f ′ es el signo de g. Sacar factor común la exponencial es, en estos ejercicios, medio ejercicio resuelto.
Las cuatro familias que se toman
x²·ln x · ax − b·ln x → dominio (0, +∞)
ex² − ax → cadena sola
(ln x)/x → cociente, dominio (0, +∞)
El procedimiento completo
2. Derivar con producto, cociente o cadena según corresponda.
3. Factorizar f ′, sacando de factor común la exponencial o la potencia de x que se repita.
4. Puntos críticos: igualar a cero el factor que sí puede anularse, y quedarse sólo con los que estén en el dominio.
5. Cuadro de signos sobre el dominio, no sobre toda la recta.
6. Clasificar por cambio de signo y calcular el valor de f en cada extremo.
Dónde se pierde el punto
Armar el cuadro de signos sobre toda la recta real cuando el dominio era (0, +∞). Aparecen intervalos que no existen, y muchas veces un «mínimo» fantasma en un x negativo. El dominio se escribe primero, y el cuadro se dibuja adentro de él.
El control que conviene hacer siempre
Tres chequeos. Primero: cada punto crítico está en el dominio. Segundo: el valor del extremo, aunque quede escrito con e o con ln, se puede estimar (e ≈ 2,72, ln 2 ≈ 0,69) y comparar con f a los dos lados. Tercero: fijate el comportamiento en los bordes — si el dominio es (0, +∞) y f tiene un −ln x, cerca de 0 la función se dispara a +∞, y eso confirma que el crítico que encontraste es un mínimo y no un máximo.
Sea f(x) = 4x - 8 ln(x). Hallar el dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos locales y el valor de la función en ellos.
Dominio, primero que nada. Hay un ln x suelto, así que hace falta x > 0:
Todo lo que sigue se hace adentro de ese intervalo. Los valores negativos no existen para esta función.
La derivada:
Puntos críticos: igualo a cero y despejo. Conviene pasar a común denominador para ver la estructura:
El 2 está en el dominio ✔ (si hubiera dado negativo, habría que descartarlo).
Cuadro de signos sobre (0, +∞), partido por el 2:
en x = 4: 4 − 2 = 2 → f ′ > 0 → crece en (2, +∞)
Clasificación: pasa de − a +, así que en x = 2 hay un mínimo local.
El valor:
Control a los dos lados: f(1) = 4 y f(4) ≈ 4,91; los dos son mayores que 2,455 ✔ Es efectivamente un valle.
Dónde se pierde el punto: incluir el intervalo (−∞, 0) en el cuadro de signos. Ahí f ′ = 4 − 8/x da positiva, así que aparece un falso tramo de crecimiento… de una función que en esos x ni siquiera está definida.
Sea f(x) = x^2 · e^(-x). Hallar el dominio, los puntos críticos, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y clasificar los extremos dando su valor.
Dominio: la exponencial existe siempre y x² también, así que Dom f = ℝ. Acá el dominio no recorta nada, pero igual hay que decirlo.
Derivo con la regla del producto, recordando que la derivada de e−x es −e−x (cadena: el −1 del exponente sale multiplicando):
Factorizo, que es el paso que decide el ejercicio. Saco e−x y x:
Puntos críticos: como e−x nunca se anula, los ceros salen de los otros dos factores:
Cuadro de signos. La exponencial es siempre positiva, así que el signo de f ′ es el signo de x·(2 − x):
x = 1: (1)(1) = 1 → +
x = 3: (3)(−1) = −3 → −
Crecimiento: decrece en (−∞, 0), crece en (0, 2), decrece en (2, +∞).
Clasificación y valores:
x = 2: de + a − → máximo local, f(2) = 4·e−2 ≈ 0,541
Control a los dos lados del máximo: f(1,9) ≈ 0,5399 y f(2,1) ≈ 0,5400, los dos menores que 0,5413 ✔ Y para el mínimo: f(−0,5) ≈ 0,412 y f(0,5) ≈ 0,152, los dos mayores que 0 ✔
Un control extra que vale oro: f(x) = x²e−x es mayor o igual que 0 para todo x, porque x² ≥ 0 y la exponencial es positiva. Entonces f(0) = 0 tiene que ser un mínimo, y además absoluto. Ese razonamiento no usa derivadas y confirma el cuadro.
Dónde se pierde el punto: olvidarse del punto crítico x = 0 por sacar sólo e−x de factor común y no ver que también se puede sacar x. Con eso se pierde un extremo entero.
Dónde se cae la mayoría
- Armar el cuadro de signos en todo ℝ cuando el logaritmo ya recortó el dominio a (0, +∞).
- Dar como punto crítico un valor que anula la exponencial: e^u nunca vale 0.
- Derivar x·e^(kx) como si fuera una suma y perder uno de los dos términos del producto.
- Quedarse con la raíz negativa de un punto crítico cuando el dominio sólo admite positivos.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Estudio de funciones con exponenciales y logaritmos →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — Estudio de una función con exponencial20 puntos · resuelto paso a paso
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Derivadas