Matemática (51) · Unidad 5 — Derivadas
Hallar parámetros con la recta tangente
Es el ejercicio de parcial de la unidad, y tiene una sola idea: una recta tangente encierra DOS datos, no uno — por dónde pasa y con qué inclinación —, y por eso alcanza para despejar hasta dos letras.
La explicación
De qué se trata
Te dan una función con una o dos letras adentro (a, b, k) y un dato sobre su recta tangente en cierto x0. Hay que averiguar cuánto valen las letras. La función no está del todo definida hasta que no las encontrás.
Las dos condiciones que hay que saber leer
«la tangente en x0 es y = mx + b» → dos ecuaciones:
f ′(x0) = m y f(x0) = m·x0 + b
La segunda es la que más se olvida y la que más puntos vale. Si te dan la ecuación completa de la tangente, también te están diciendo por dónde pasa la función: en x0 la curva y la recta se tocan, así que tienen la misma altura. Esa altura se calcula con la recta, que es la que sí conocés entera.
Dos casos más, que son la misma idea traducida:
- «la tangente es horizontal» → f ′(x0) = 0.
- «la tangente es paralela a y = mx + b» → f ′(x0) = m, y nada más: la b no aporta.
El procedimiento
2. Derivá f dejando las letras como letras. Son constantes: sobreviven a la derivada igual que cualquier número.
3. Escribí la condición de pendiente: f ′(x0) = m.
4. Si te dieron la recta completa, escribí también la condición de paso: f(x0) = valor de la recta en x0.
5. Resolvé el sistema. Casi siempre una de las dos ecuaciones tiene una sola letra: empezá por ésa.
6. Verificá reemplazando las letras halladas en f y comprobando las dos condiciones.
Por qué conviene mirar primero la ecuación más simple
En estos ejercicios el x0 está elegido para que algo se simplifique. Muy seguido pasa que en x0 el argumento del logaritmo vale 1 (y entonces ln = 0) o que el exponente de la exponencial vale 0 (y entonces e⁰ = 1). Cuando eso ocurre, una de las dos ecuaciones queda con una sola letra y el sistema se desarma solo.
El caso con logaritmo
Si f(x) = A·ln(u(x)) + …, su derivada es A·u′/u. La letra suele estar adentro del logaritmo, y al derivar aparece arriba y abajo. Después de reemplazar x0 queda una ecuación con fracciones: pasá el denominador multiplicando y resolvé.
El caso con exponencial
Si f(x) = a·eu(x) + b, la letra a multiplica y sobrevive intacta a la derivada; la b, en cambio, desaparece al derivar. Por eso la b nunca se puede sacar de la condición de pendiente: sale siempre de la condición de paso.
El control que conviene hacer siempre
Reemplazá los valores hallados y verificá las dos condiciones por separado: que f(x0) coincida con la altura de la recta, y que f ′(x0) coincida con su pendiente. Y chequeá el dominio: con el valor hallado, el argumento del logaritmo tiene que ser positivo en x0. Si no lo es, el valor está mal o hay que descartarlo.
Sea f(x) = ln(x^2 + 4x + k). Hallar k real de modo que la pendiente de la recta tangente al gráfico de f en x_0 = 1 sea igual a 2.
Planteo: hay una sola letra y un solo dato (la pendiente), así que va a alcanzar con una ecuación: f ′(1) = 2.
Derivo dejando k como constante. Es un logaritmo compuesto: derivada del adentro sobre el adentro.
Fijate que la k no aparece arriba: al derivar el paréntesis, la constante se va. Sí queda abajo, porque el denominador es el argumento sin tocar.
Impongo la condición en x0 = 1:
Despejo pasando el denominador multiplicando:
Control de la condición: con k = −2, f ′(1) = 6/(5 − 2) = 6/3 = 2 ✔
Control de dominio, que es el que más se olvida: el argumento en x = 1 tiene que ser positivo. Vale 1 + 4 − 2 = 3 > 0 ✔ Si hubiera dado negativo, f ni siquiera estaría definida en x = 1 y el valor habría que descartarlo.
Dónde se pierde el punto: derivar el logaritmo sin cadena, o hacer desaparecer la k también del denominador. La k tiene que sobrevivir en algún lado, si no la ecuación no tendría incógnita.
Sea f(x) = a·e^(x^2 - 2x) + b, con a y b reales. Determinar a y b para que y = -4x + 7 sea la ecuación de la recta tangente al gráfico de f en x_0 = 0.
Planteo: hay dos letras, así que hacen falta dos ecuaciones. Y el enunciado da la recta completa, que es justamente lo que aporta las dos: la pendiente y la altura.
Condición 1 — la altura. En x = 0 la curva y la recta se tocan, así que tienen el mismo valor. La altura la calculo con la recta, que conozco entera:
Y f(0) = a·e0 + b = a + b. Entonces:
Condición 2 — la pendiente. Derivo con cadena, dejando a y b como constantes. Ojo con la b: al derivar desaparece.
Resuelvo el sistema, empezando por (II), que tiene una sola letra:
Control de las dos condiciones con f(x) = 2ex²−2x + 5:
Dónde se pierde el punto: intentar sacar la b de la condición de pendiente. La b es un desplazamiento vertical: sube o baja el gráfico entero sin cambiar ninguna inclinación, así que la derivada no sabe nada de ella. Sólo aparece en la condición de paso.
Dónde se cae la mayoría
- Usar sólo la condición de pendiente cuando dan la ecuación completa de la tangente, y quedarse sin ecuaciones para la segunda letra.
- Tratar la letra como si fuera una variable y derivarla: a y k son constantes, su derivada es 0.
- Calcular la altura del punto con la función (que tiene letras adentro) en vez de con la recta, que se conoce entera.
- No verificar el dominio: un valor de k que hace negativo el argumento del logaritmo hay que descartarlo.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Hallar parámetros con la recta tangente →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — La recta tangente20 puntos · resuelto paso a paso
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