Matemática (51) · Unidad 5 — Derivadas
Producto, cociente y regla de la cadena
Las tres fórmulas se aprenden en diez minutos; lo que se tarda en aprender es cuál usar. La respuesta está siempre en la misma pregunta: cuál es la ÚLTIMA operación que hacés para calcular f(x).
La explicación
Por qué no alcanza con derivar cada parte
Con sumas y restas se puede ir término por término. Con productos y cocientes no, y conviene convencerse con un caso donde se vea:
pero (x)′·(x)′ = 1·1 = 1 ✗
Derivar «por partes» un producto da cualquier cosa. Hay una fórmula y hay que usarla.
Las tres fórmulas
Cociente: (f/g)′ = ( f ′·g − f·g′ ) / g²
Cadena: [ f(g(x)) ]′ = f ′(g(x)) · g′(x)
Del cociente hay dos cosas que se olvidan siempre: que va una resta (y por lo tanto el orden importa, al revés que en el producto) y que el denominador va al cuadrado.
Cómo darse cuenta de cuál usar
Preguntate: si tuviera que calcular f(5) con la calculadora, ¿cuál sería la última tecla? Esa última operación decide la regla.
2. Si lo último es multiplicar dos cosas que dependen de x → producto.
3. Si lo último es dividir → cociente (o, si el de abajo es un monomio, repartí y ahorrate la fórmula).
4. Si lo último es aplicar una función (elevar, sacar raíz, tomar ln, sen, e elevado a algo) a una expresión que no es una x sola → cadena.
Ejemplos de la lectura: en (2x+3)·ex lo último es multiplicar → producto. En e2x+3 lo último es exponenciar → cadena. En sen(x)/x lo último es dividir → cociente. En sen(x²) lo último es tomar seno → cadena; en sen²(x) lo último es elevar al cuadrado → también cadena, pero con el «adentro» y el «afuera» intercambiados.
La cadena, paso a paso
2. Derivá el afuera sin tocar el adentro: lo dejás escrito tal cual.
3. Multiplicá por la derivada del adentro.
4. Si el adentro es a su vez compuesto, repetís. La cadena se encadena.
[ un ]′ = n·un−1·u′ · [ sen u ]′ = cos(u)·u′
Fijate el caso del logaritmo: la derivada del adentro queda arriba. Es la forma más rápida de acordarse y la que más rinde en el parcial.
El truco de romper el logaritmo antes de derivar
Si te dan ln de un cociente o de un producto, aplicá las propiedades primero: la derivada se vuelve una suma y desaparece la regla del cociente.
Cuando hay que combinar
En una misma función pueden convivir las tres. El orden de ataque es de afuera hacia adentro: aplicás la regla que corresponde a la última operación, y las derivadas que te queden pendientes las resolvés después, cada una con su propia regla.
El control que conviene hacer siempre
Dos chequeos rápidos. Primero: en un producto la derivada tiene que tener dos términos; si te quedó uno solo, derivaste factor por factor. Segundo: elegí un x fácil y compará f ′(x0) con [f(x0+0,001) − f(x0)]/0,001. Si no se parecen, el error está en la regla, no en la cuenta.
Hallar la derivada de f(x) = (2x^2 + 1)·e^x.
Planteo: la última operación para calcular f(5) sería multiplicar el paréntesis por la exponencial. Es un producto, así que va la regla del producto.
Nombro las dos partes y las derivo por separado:
v = ex → v′ = ex
Aplico la fórmula (f·g)′ = f ′·g + f·g′, que da dos términos:
Saco factor común ex, que nunca se anula y siempre conviene sacar: deja la respuesta más corta y, sobre todo, deja a la vista quién puede anular la derivada.
Control de estructura: son dos términos, como tiene que ser en un producto ✔ Y el grado del paréntesis no bajó: en un producto con ex el polinomio se mantiene, porque la exponencial no lo consume.
Control numérico en x = 0: la fórmula da f ′(0) = 1·(0 + 0 + 1) = 1. Por otro lado f(0) = 1 y f(0,001) ≈ 1,001003, así que la pendiente ronda 1,003 ✔
Dónde se pierde el punto: escribir 4x·ex y nada más. Si te dio un solo término, derivaste cada factor por su lado, y se nota porque falta justo el término que aporta la exponencial.
Sea f(x) = ln( (x^2 + 4) / (5x) ), definida para x mayor que 0. Hallar f'(x) y los valores de x donde la derivada se anula.
Planteo: se puede atacar con cadena + cociente, pero hay un atajo que conviene tomar siempre: romper el logaritmo primero. Las propiedades convierten el cociente en una resta y la regla del cociente desaparece.
Cada término con la cadena del logaritmo (derivada del adentro sobre el adentro):
[ ln(5x) ]′ = 5 / (5x) = 1/x
Fijate el segundo: el 5 se simplifica solo. Una constante que multiplica adentro de un logaritmo no afecta la derivada, y tiene sentido, porque ln(5x) = ln 5 + ln x y el ln 5 es una constante.
Dónde se anula: igualo a cero y paso el segundo término del otro lado.
Salen x = 2 y x = −2, pero el dominio es x > 0, así que sólo sirve x = 2.
Control: reemplazo en la derivada: 4/8 − 1/2 = 0 ✔ Y numéricamente, f(1,99) y f(2,01) dan prácticamente lo mismo, que es lo que uno espera de un punto de tangente horizontal.
Dónde se pierde el punto: derivar sin romper el logaritmo y perderse en la regla del cociente, y quedarse con la raíz x = −2 sin mirar el dominio.
Dónde se cae la mayoría
- Derivar un producto como el producto de las derivadas: (f·g)′ no es f ′·g′.
- En el cociente poner el numerador dado vuelta: va f ′·g − f·g′, y esa resta no es conmutativa.
- En el cociente olvidarse de elevar el denominador al cuadrado.
- Aplicar la cadena a medias: derivar el afuera y no multiplicar por la derivada del adentro.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Producto, cociente y regla de la cadena →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — La recta tangente20 puntos · resuelto paso a paso
- Segundo parcial — Estudio de una función con exponencial20 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 5
Derivadas