Matemática (51) · Unidad 5 — Derivadas
Problemas de optimización
Acá no te dan la función: la tenés que escribir vos. Derivar es el último paso y el más fácil; el ejercicio se gana o se pierde en el planteo, y sobre todo en usar la restricción para quedarse con una sola variable.
La explicación
Para qué sirve
Es la aplicación por la que existe todo lo anterior: hallar el área más grande, el costo más chico, el material mínimo. El enunciado viene en castellano y hay que traducirlo a una función de una variable.
El método, en cuatro pasos
2. Escribir la función a optimizar. Es lo que el problema quiere hacer máximo o mínimo: área, volumen, costo, suma. Va a quedar con dos variables, y está bien que quede así.
3. Usar la restricción. Es el dato que sobra del enunciado (el alambre disponible, el volumen fijo, la suma dada). Se despeja una variable y se reemplaza. Recién ahí la función queda de una sola variable.
4. Derivar, igualar a cero y clasificar. El paso mecánico.
El paso 3 es el que decide todo
Si derivás una función de dos variables no llegás a nada. La restricción es la que las conecta:
Restricción: 2x + 2y = 20 → y = 10 − x
Reemplazo: A(x) = x(10 − x) = 10x − x² (una variable) ✔
Truco para identificar cuál es cuál: la restricción es la que tiene un número dado en el enunciado («dispone de 6 metros», «el volumen es 32 litros»); la función a optimizar es la que aparece en la pregunta («de modo que el área sea máxima»).
El dominio también es parte del problema
Una longitud no puede ser negativa ni cero. Si x es un lado y la restricción da y = 10 − x, entonces hace falta x > 0 y 10 − x > 0, o sea x ∈ (0, 10). Ese dominio sirve para dos cosas: descartar soluciones absurdas y confirmar que el crítico que encontraste está adentro.
Verificar que es el extremo que se pide
Encontrar f ′(x) = 0 no garantiza nada por sí solo. Hay que comprobar que sea máximo si pedían máximo:
- Cuadro de signos de la derivada alrededor del crítico, como siempre.
- O, más rápido en el parcial: evaluar la función un poco antes y un poco después y ver que los dos valores son menores (si es máximo) o mayores (si es mínimo).
- Si la función a optimizar es una parábola hacia abajo, el vértice ya es el máximo y alcanza con decirlo.
Contestar lo que preguntan
Muchas veces la x que hallaste no es la respuesta. Si preguntan «las dimensiones», hay que dar las dos; si preguntan «el área máxima», hay que dar el valor del área y no el lado. Volvé al enunciado antes de escribir la última línea.
El control que conviene hacer siempre
Tres chequeos, y los tres son rápidos. Sentido físico: ninguna longitud negativa, ninguna dimensión mayor que el total disponible. Consistencia: reemplazá en la restricción y verificá que se cumple (si el perímetro tenía que ser 24, sumá los lados y controlá que dé 24). Comparación: probá un valor vecino y comprobá que da peor que el tuyo.
Hallar dos números positivos cuya suma sea 10 y cuyo producto sea máximo. Dar también el valor del producto.
1. Nombrar. Llamo x a uno de los números. Como tienen que sumar 10, el otro es 10 − x. Con eso ya usé la restricción y me quedó una sola variable desde el arranque.
2. La función a optimizar. Lo que hay que hacer máximo es el producto:
3. El dominio. Los dos números tienen que ser positivos:
4. Derivar e igualar a cero:
Está adentro del dominio ✔
Verifico que sea máximo. P ′(4) = 2 > 0 y P ′(6) = −2 < 0: pasa de + a −, así que es un máximo. (También se ve sin derivar: P es una parábola con el coeficiente de x² negativo, o sea abre hacia abajo, y su vértice es el máximo.)
Contesto lo que preguntan: los números son 5 y 5, y el producto máximo es 25.
Control por comparación: con 4 y 6 el producto da 24; con 3 y 7 da 21; con 4,9 y 5,1 da 24,99. Todos menores que 25 ✔
Dónde se pierde el punto: contestar «x = 5» y frenar. Preguntaron dos números y el producto: son tres datos, y la x sola es apenas uno.
Se quiere cercar un cantero rectangular apoyado contra una pared, de modo que la pared haga de uno de los lados y sólo haya que alambrar los otros tres. Se dispone de 24 metros de alambre. Hallar las dimensiones que hacen máxima el área y el valor de esa área.
1. Nombrar, con dibujo mental. El rectángulo tiene un lado pegado a la pared. Llamo x a cada uno de los dos lados perpendiculares a la pared y y al lado paralelo a ella (el que está enfrente). Se alambran dos x y una y: la pared se ocupa del cuarto lado.
2. La función a optimizar: el área del rectángulo.
3. La restricción, que es el dato numérico del enunciado:
Acá está el corazón del ejercicio: si el lado pegado a la pared no se alambra, el perímetro que cuenta no es 2x + 2y. Leer mal esto cambia todo el resultado.
Reemplazo para quedarme con una sola variable:
El dominio: x > 0 y 24 − 2x > 0, o sea x ∈ (0, 12).
4. Derivar e igualar a cero:
Verifico: A′(5) = 4 > 0 y A′(7) = −4 < 0 → de + a −, es un máximo ✔ Y x = 6 está en (0, 12) ✔
Las dimensiones y el área:
Control de consistencia: 2·6 + 12 = 24 m de alambre ✔ Control por comparación: con x = 5 el área da 5·14 = 70, y con x = 7 da 7·10 = 70; las dos peores que 72 ✔
Un detalle que conviene notar: el rectángulo óptimo no es un cuadrado. El lado paralelo a la pared mide el doble que los otros, justamente porque cuesta «la mitad» (se alambra una sola vez). Si el terreno estuviera aislado, sí daría cuadrado.
Dónde se pierde el punto: plantear 2x + 2y = 24 por costumbre, ignorando la pared. Con eso sale un cuadrado de 6×6 y un área de 36 m², la mitad de la correcta.
Dónde se cae la mayoría
- Derivar la función a optimizar antes de reemplazar la restricción, y quedarse con dos variables.
- Confundir cuál es la restricción y cuál la función a optimizar, y terminar maximizando el perímetro.
- Contestar el valor de x cuando piden las dimensiones o el área.
- Aceptar una solución negativa para una longitud, o no verificar que el crítico hallado sea máximo cuando pedían máximo.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Problemas de optimización →Los otros temas de la unidad 5
Derivadas