Matemática (51) · Unidad 5 — Derivadas
La derivada: qué mide y las reglas básicas
La derivada no es una fórmula más: es la pendiente de la recta tangente, y por lo tanto la velocidad con la que la función cambia en ese punto exacto. Todo lo que viene después de esta unidad —tangentes, máximos, mínimos, optimización— es leer ese número.
La explicación
De dónde sale: la secante que se vuelve tangente
Si querés saber cuánto crece una función entre dos puntos, calculás la pendiente de la recta que los une (la secante):
Eso es una variación promedio. Pero lo que casi siempre interesa es la variación en un punto, no en un tramo. La idea es acercar el segundo punto al primero: achicar h hasta que la secante se apoye en un solo punto. Ese límite es la derivada:
Y entonces f ′(x0) es la pendiente de la recta tangente al gráfico en x0. Si f es una posición en función del tiempo, esa misma pendiente es la velocidad instantánea: la que marca el velocímetro, no el promedio del viaje.
Cómo leer el signo y el tamaño
- f ′(x0) > 0 → ahí la función sube.
- f ′(x0) < 0 → ahí baja.
- f ′(x0) = 0 → la tangente es horizontal (candidato a máximo o mínimo).
- Cuanto más grande es |f ′|, más empinada está la curva.
La tabla que hay que tener de memoria
(ex)′ = ex · (ln x)′ = 1/x
(sen x)′ = cos x · (cos x)′ = −sen x
La regla de la potencia es una sola y cubre mucho más de lo que parece, siempre que primero escribas todo como potencia:
1/x = x−1 → (1/x)′ = −x−2 = −1/x²
3/x² = 3x−2 → derivada = −6x−3 = −6/x³
Las tres reglas lineales
2. Lo mismo con la resta.
3. Una constante que multiplica sale afuera: (k·f)′ = k·f ′.
Ojo: esto vale para sumas y restas. Para un producto o un cociente de dos funciones no vale, y es el tema que sigue.
El procedimiento, en orden
2. Derivá término por término.
3. Volvé a la notación linda: los exponentes negativos otra vez al denominador, x−1/2 otra vez como raíz.
4. Si te piden un valor, recién ahí reemplazás el número en f ′, nunca en f.
Derivadas sucesivas
f ′′ es la derivada de f ′, f ′′′ la de f ′′, y así. Con posición y tiempo: la primera derivada es la velocidad y la segunda es la aceleración. Se derivan de a una y en orden; no hay atajo.
El control que conviene hacer siempre
Mirá el grado: al derivar un polinomio baja uno, y el término independiente desaparece. Si derivaste 4x³ − 5x² + 2x − 7 y te quedó algo de grado 3, o te sobró el −7, hay un error a la vista sin revisar ninguna cuenta. Y para verificar un valor: f ′(x0) tiene que parecerse a [f(x0+0,01) − f(x0)] / 0,01.
Hallar f'(x) y f'(1) para f(x) = 4x^3 - 5x^2 + 2x - 7.
Planteo: es una suma de cuatro términos, así que alcanza con derivar cada uno y sumar. No hay productos ni cocientes de funciones: los números que multiplican salen afuera.
Término por término:
(−5x²)′ = −5·2x = −10x
(2x)′ = 2 (porque (x)′ = 1)
(−7)′ = 0
La derivada:
El valor pedido: ahora sí reemplazo, y lo hago en f ′, no en f:
Control de grado: f era de grado 3 y f ′ quedó de grado 2 ✔ El −7 desapareció ✔
Control numérico: f(1) = −6 y f(1,01) = −5,9593. La variación es 0,0407 en un paso de 0,01, o sea una pendiente de ≈ 4,07, muy cerca de 4. La diferencia es justamente porque 0,01 todavía no es cero.
Dónde se pierde el punto: contestar f(1) = −6 en lugar de f ′(1) = 4. Leé qué te piden: la derivada evaluada, no la función evaluada.
Calcular la derivada de f(x) = x^2 - 3x en x_0 = 2 usando la definición (el cociente incremental), y verificar el resultado con la tabla. Dar además f''(x).
Planteo: la definición pide armar el cociente [f(2+h) − f(2)]/h y hacerlo tender a 0. Lo primero es calcular las dos imágenes.
Los dos valores:
f(2+h) = (2+h)² − 3(2+h) = 4 + 4h + h² − 6 − 3h = h² + h − 2
La resta, que es donde se arregla todo: el −2 se cancela, y eso no es casualidad: si no se cancelara, el cociente no tendría límite finito.
El cociente incremental: se factoriza h y se simplifica. Hasta que no simplifiques no podés reemplazar h = 0, porque quedaría 0/0.
Entonces f ′(2) = 1.
Verificación por la tabla: f ′(x) = 2x − 3, y en x = 2 da 4 − 3 = 1 ✔ Los dos caminos coinciden, que es exactamente lo que dice el teorema: la tabla es el resultado de haber hecho este límite una vez y para siempre.
La segunda derivada: se deriva f ′(x) = 2x − 3 otra vez:
Es constante, y tiene sentido: la pendiente de una parábola crece siempre al mismo ritmo.
Dónde se pierde el punto: reemplazar h = 0 antes de simplificar y escribir «0/0, no existe». El 0/0 no dice que no exista: dice que hay que factorizar primero.
Dónde se cae la mayoría
- Derivar una constante y dejarla igual: la derivada de −7 es 0, no −7.
- Con x^n bajar el exponente pero olvidarse de restarle 1: la derivada de x⁴ es 4x³, no 4x⁴.
- Con exponentes negativos, restar 1 en el sentido equivocado: de x⁻¹ se pasa a x⁻², no a x⁰.
- Reemplazar el punto en f en vez de en f ′ cuando piden f ′(x_0).
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar La derivada: qué mide y las reglas básicas →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — La recta tangente20 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 5
Derivadas