Matemática (51) · Unidad 5 — Derivadas
Crecimiento, decrecimiento y extremos
El signo de la derivada decide si la función sube o baja, y los cambios de signo son los máximos y los mínimos. Todo el estudio de una función se reduce a armar bien un cuadro de signos de f ′.
La explicación
Para qué sirve
Con la derivada se puede describir la forma de un gráfico sin hacer una tabla de valores: dónde sube, dónde baja y dónde están los picos. Es lo que se pide en media materia y la base de los problemas de optimización.
El criterio, en una línea
f ′(x) < 0 en un intervalo → f decrece ahí
No se mira el signo de f, se mira el signo de f ′. Una función puede ser toda negativa y estar creciendo todo el tiempo: son dos cosas distintas.
Puntos críticos
Un punto crítico es un x del dominio donde f ′(x) = 0 (o donde f ′ no existe). Son los únicos lugares donde la derivada puede cambiar de signo, y por eso son los candidatos a máximo o mínimo. Candidatos: no todos lo son.
El cuadro de signos, paso a paso
2. Derivá y factorizá f ′. Factorizada, el signo se lee sin hacer cuentas.
3. Resolvé f ′(x) = 0: esos son los puntos críticos.
4. Marcá en la recta los críticos y los puntos excluidos del dominio. Quedan varios intervalos.
5. En cada intervalo elegí un valor de prueba cómodo y evaluá el signo de f ′ ahí. Alcanza con el signo, no hace falta el número.
6. Escribí los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
El criterio de la primera derivada
Para clasificar cada punto crítico xc se mira cómo cambia el signo de f ′ al pasar por él:
de − a + → mínimo local en xc
no cambia → no es extremo
La imagen que no falla: si venía subiendo y pasa a bajar, ahí hubo un pico.
Un punto crítico no siempre es un extremo
El caso típico es f ′(x) = 3(x − 2)²: se anula en x = 2, pero como es un cuadrado es positiva antes y después. La función tiene ahí la tangente horizontal y sigue subiendo igual: es un descanso, no un pico. Cada vez que un factor de f ′ aparece elevado a una potencia par, ese cero no cambia el signo.
Cuando te dan f ′ en lugar de f
Es un ejercicio muy tomado y parece raro, pero es más fácil: ya te ahorraron derivar. Se factoriza la f ′ que te dieron, se arma el cuadro de signos y se contesta sobre f. Lo único que no se puede contestar es cuánto vale f en el extremo: para eso haría falta conocer f.
El valor extremo
Si piden «los valores extremos», hay que dar f(xc), no xc. El máximo local es la altura; el x es dónde se alcanza. Conviene escribir las dos cosas: «máximo local en x = −1, donde f vale 10».
El control que conviene hacer siempre
Evaluá f a los dos lados del punto que clasificaste: si decís que en x = −1 hay un máximo, entonces f(−1) tiene que ser mayor que f(−1,1) y que f(−0,9). Es un control de dos cuentas que detecta al instante un signo mal leído en el cuadro.
Sea f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5. Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos locales y los valores extremos.
Planteo: el dominio es todo ℝ (es un polinomio), así que lo único que parte la recta son los puntos críticos.
Derivo y factorizo. Factorizar no es un adorno: es lo que permite leer el signo sin calcular.
Puntos críticos: x = −1 y x = 3.
Cuadro de signos con un valor de prueba por intervalo:
en x = 0: 3(−3)(1) = −9 → f ′ < 0
en x = 4: 3(1)(5) = +15 → f ′ > 0
Conclusión sobre el crecimiento:
decrece en (−1, 3)
Clasificación: en x = −1 la derivada pasa de + a −, así que hay máximo local. En x = 3 pasa de − a +: mínimo local.
Los valores extremos (que es lo que se pide cuando dicen «valores»):
f(3) = 27 − 27 − 27 + 5 = −22
Control a los dos lados: f(−1,1) = 9,939 y f(−0,9) = 9,941, los dos menores que 10 ✔ Y f(2,9) = −21,941 y f(3,1) = −21,939, los dos mayores que −22 ✔
Dónde se pierde el punto: decir «máximo en 10» y «mínimo en −22». El máximo se alcanza en x = −1 y vale 10: son dos números distintos y hay que decir cuál es cuál.
Sea f una función derivable en todo R cuya derivada es f'(x) = 2x^3 - 2x^2 - 12x. Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f y clasificar sus extremos locales.
Planteo: acá no dan f sino f ′, y eso es una ventaja: el trabajo de derivar ya está hecho. Todo lo que hay que hacer es estudiar el signo de lo que dan.
Factorizo la derivada. Primero saco factor común y después factorizo la cuadrática que queda:
Puntos críticos: x = −2, x = 0 y x = 3. Tres ceros parten la recta en cuatro intervalos.
Cuadro de signos, con un valor de prueba en cada uno. Conviene contar los factores negativos: si son impares, el producto es negativo.
x = −1: 2(−1)(−4)(1) = +8 → +
x = 1: 2(1)(−2)(3) = −12 → −
x = 4: 2(4)(1)(6) = +48 → +
Crecimiento de f:
crece en (−2, 0) ∪ (3, +∞)
Clasificación, leyendo los cambios de signo de izquierda a derecha:
en x = 0: de + a − → máximo local
en x = 3: de − a + → mínimo local
Qué NO se puede contestar: cuánto valen esos extremos. Para eso haría falta conocer f, y de f sólo sabemos su derivada; hay infinitas funciones con esta misma f ′, todas iguales salvo una constante que las sube o las baja.
Control: los signos tienen que alternar en cada cero simple, y acá alternan −, +, −, + ✔ Si dos intervalos consecutivos te dieran el mismo signo con un cero simple en el medio, hay un error de cuenta.
Dónde se pierde el punto: olvidarse del cero que viene del factor común (el x = 0). Sacar factor común 2x y después perder de vista que el 2x también se anula es el descuido más frecuente del ejercicio.
Dónde se cae la mayoría
- Mirar el signo de f en vez del signo de f ′ para decidir si crece o decrece.
- Dar como extremo todo punto crítico, sin verificar que la derivada cambie de signo.
- Contestar el valor de x cuando piden el valor extremo, que es f(x).
- Armar el cuadro de signos sin marcar los puntos que quedan fuera del dominio.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Crecimiento, decrecimiento y extremos →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — Estudio de una función con exponencial20 puntos · resuelto paso a paso
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