Matemática (51) · Unidad 5 — Derivadas
La recta tangente
Una recta queda determinada por un punto y una pendiente, y la derivada te da la pendiente. Por eso hallar la tangente es siempre el mismo ejercicio de tres números, y siempre en el mismo orden.
La explicación
Para qué sirve
La recta tangente es la recta que mejor imita a la función cerca de un punto: pasa por el punto y sale con la misma inclinación. Cerca de x0, la función y su tangente son casi indistinguibles, y de ahí sale todo lo que después se usa para aproximar.
La fórmula
No es una fórmula nueva: es la ecuación de la recta que pasa por el punto (x0, f(x0)) con pendiente m = f ′(x0), escrita en la forma punto-pendiente.
Los tres números, y en qué orden
2. f(x0): la altura. Se calcula con la función original.
3. f ′(x0): la pendiente. Primero derivás la función entera, y recién después reemplazás.
4. Reemplazás los tres en la fórmula y distribuís si te piden la forma y = mx + b.
El paso 3 tiene una trampa que cuesta puntos todos los cuatrimestres: no se reemplaza antes de derivar. Si primero ponés x = 4 en f, te queda un número, y la derivada de un número es 0.
Tangente horizontal
Una recta es horizontal cuando su pendiente es 0. Entonces «hallar dónde la tangente es horizontal» es exactamente:
Y la recta que queda es y = f(x0), una recta constante. Estos puntos son los mismos que después van a ser candidatos a máximo o mínimo.
Tangente paralela a una recta dada
Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente. Si te dan y = mx + b y piden dónde la tangente es paralela a ella, lo único que hay que hacer es:
La b de la recta dada no interviene: mueve la recta para arriba o para abajo, no cambia su inclinación. Y ojo: la ecuación f ′(x) = m puede tener varias soluciones, y entonces hay varios puntos. Conviene siempre preguntarse cuántas raíces tiene antes de dar por terminado el ejercicio.
Hallar el punto conociendo la pendiente
Es la misma cuenta leída al revés: te dan un valor de pendiente, resolvés f ′(x) = valor, y con cada x que salga calculás f(x) para escribir el punto completo (x, f(x)). El punto tiene dos coordenadas: dar sólo la x es media respuesta.
2. Plantear f ′(x) = m y resolver. Pueden salir una, dos o ninguna solución.
3. Para cada x hallada, calcular f(x) con la función original.
4. Si además piden la recta, escribir una por cada punto.
El control que conviene hacer siempre
Reemplazá x0 en la ecuación de la tangente que obtuviste: tiene que darte f(x0). Es un control de diez segundos que detecta casi todos los errores de distribución y de signo. Y un segundo control de sentido común: si la función sube en x0, la pendiente tiene que darte positiva.
Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de f(x) = -x^2 + 6x - 5 en x_0 = 4.
Planteo: hacen falta tres números y en este orden: x0 (lo dan), la altura f(4) y la pendiente f ′(4).
La altura: se calcula con la función original.
El punto de tangencia es (4, 3).
La pendiente: primero derivo toda la función, y recién después reemplazo.
La fórmula:
y = 3 − 2(x − 4)
y = 3 − 2x + 8 = −2x + 11
Control obligatorio: reemplazo x = 4 en la recta: −8 + 11 = 3, que es f(4) ✔ Si no coincidiera, el error estaría en la distribución.
Control de sentido: el vértice de esta parábola está en x = 3, así que en x = 4 la parábola ya viene bajando y la pendiente tiene que ser negativa. Lo es ✔
Dónde se pierde el punto: escribir y = 3 − 2(x + 4) por copiar mal el signo de la fórmula. La resta (x − x0) es lo que garantiza que en x = x0 el paréntesis se anule y quede la altura.
Sea f(x) = x^3 - 3x^2 + 2. Hallar todos los puntos del gráfico de f en los que la recta tangente tiene pendiente 9, y escribir la ecuación de la tangente en cada uno.
Planteo: «pendiente 9» es una condición sobre la derivada, no sobre la función. Lo que hay que resolver es f ′(x) = 9. Y conviene anticipar: f ′ va a ser una cuadrática, así que pueden salir dos puntos.
La derivada y la ecuación:
3x² − 6x = 9 → 3x² − 6x − 9 = 0 → x² − 2x − 3 = 0
Dividir todo por 3 antes de usar la resolvente ahorra la mitad de los errores. Factorizando: (x − 3)(x + 1) = 0.
Las alturas, que son las que completan los puntos:
f(−1) = −1 − 3 + 2 = −2 → P2 = (−1, −2)
Las dos rectas, las dos con pendiente 9:
en P2: y = −2 + 9(x + 1) = 9x + 7
Control: en la primera, x = 3 da 27 − 25 = 2 ✔ En la segunda, x = −1 da −9 + 7 = −2 ✔ Y las dos rectas son paralelas entre sí, como tiene que ser: comparten la pendiente y se diferencian sólo en la ordenada al origen.
Dónde se pierde el punto: quedarse con una sola solución. La cúbica tiene dos lugares con la misma inclinación, uno subiendo antes del máximo y otro subiendo después del mínimo. Si la ecuación f ′(x) = m es cuadrática, revisá siempre si tiene dos raíces.
Dónde se cae la mayoría
- Reemplazar x_0 en la función antes de derivar, con lo cual la pendiente da siempre 0.
- Usar f ′(x_0) como si fuera la altura del punto: la altura sale de f, la inclinación de f ′.
- En la fórmula escribir (x + x_0) en vez de (x − x_0).
- Dar sólo la x cuando piden el punto del gráfico: el punto es (x, f(x)).
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar La recta tangente →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — La recta tangente20 puntos · resuelto paso a paso
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