Matemática (51) · Unidad 4 — Exponenciales, logaritmos y trigonométricas
Modelos: crecimiento y enfriamiento
Acá la exponencial deja de ser un ejercicio y pasa a decir algo: cuánta gente va a haber, a qué temperatura va a estar el café. Y el logaritmo aparece siempre en la misma pregunta, la de «¿cuándo?».
La explicación
Para qué sirve: lo que crece proporcionalmente a lo que ya hay
Una población no crece 100 individuos por año: crece un porcentaje de lo que tiene. Cuantos más hay, más nacen. Esa frase —«la velocidad de cambio es proporcional a la cantidad presente»— es exactamente lo que describe una exponencial.
- P0 es la cantidad inicial, la de t = 0. Sale de reemplazar t = 0, porque e0 = 1.
- k es la tasa. Si k > 0 crece; si k < 0 decae (desintegración radiactiva, un medicamento que se elimina).
- t es el tiempo, en la unidad en que esté escrito el modelo. Si el modelo va en años, no le metas meses.
El procedimiento: hallar k con un dato
2. Usá el segundo dato (un valor en un instante conocido) y planteá la igualdad.
3. Dejá sola la exponencial dividiendo por P0.
4. Tomá logaritmo natural y despejá k. Casi siempre queda de la forma k = ln(algo)/t.
5. Guardá k en forma exacta y redondeá recién al final: redondear en el medio arrastra error.
Con k en la mano, predecir es reemplazar t y calcular, y preguntar cuándo es plantear P(t) = valor y despejar t, que es tomar logaritmo otra vez.
Un atajo que conviene tener
El tiempo de duplicación no depende de cuántos había al principio:
El P0 se cancela, y eso tiene sentido: una población que se duplica cada 10 años lo hace igual si arranca con mil o con un millón. Lo mismo vale para la vida media de algo que decae, con ln(1/2)/k.
Enfriamiento: la asíntota es el ambiente
Una taza de café no se enfría hasta 0 °C: se enfría hasta la temperatura de la habitación y ahí se queda. Por eso el modelo no es una exponencial pelada sino una corrida:
Leelo por partes, que es lo que hace que el modelo se entienda:
- Tamb es la asíntota horizontal: el valor al que tiende y nunca alcanza del todo.
- (T0 − Tamb) es la diferencia inicial de temperatura, o sea cuánto tiene para enfriarse.
- El e−kt es la fracción de esa diferencia que todavía queda. Arranca en 1 (nada se enfrió) y se va a 0.
Eso da dos controles gratis: T(0) tiene que dar T0, y ninguna temperatura del modelo puede bajar de Tamb. Y si te piden «¿cuándo llega a la temperatura ambiente?», la respuesta correcta es nunca: se acerca asintóticamente.
El procedimiento para «¿cuándo?»
2. Dejá sola la exponencial: primero pasás lo que suma, después lo que multiplica.
3. Tomá ln de los dos lados.
4. Despejá t y mirá el signo: si te da negativo, la respuesta no tiene sentido físico y hay un error de despeje.
El control que conviene hacer siempre: interpretar
Un número sin interpretación no contesta la pregunta. «t = 6,91» no es una respuesta; «tarda unos 6,9 minutos en llegar a 40 °C» sí. Y antes de escribirlo, pasale el filtro del sentido común: una temperatura no puede quedar por debajo de la ambiente, una población no puede dar 3,7 individuos sin aclarar que se redondea, y un tiempo no puede ser negativo.
Una población de bacterias arranca con 500 individuos y a las 4 horas hay 1500. Suponiendo un modelo P(t) = 500·e^(kt) con t en horas, hallar k y predecir cuántas habrá a las 10 horas.
Planteo: tengo el P0 (500) y un segundo dato (a t = 4 hay 1500). Con eso se despeja k, y con k ya se puede predecir cualquier instante.
Paso 1: plantear con el dato.
Paso 2: dejar sola la exponencial. El 500 está multiplicando, así que se va dividiendo:
Fijate que quedó un 3: la población se triplicó en 4 horas. Ese número es el que importa, no los 1500.
Paso 3: tomar logaritmo y despejar k.
Lo dejo expresado como ln(3)/4 para seguir calculando: redondear acá y usar 0,27 en el exponente arrastra error.
Paso 4: predecir a las 10 horas.
Control por un segundo camino: si se triplica cada 4 horas, a las 8 horas hay 500·9 = 4500, y a las 12 habría 500·27 = 13.500. Las 10 horas están en el medio, y 7794 cae entre 4500 y 13.500 ✔ (más cerca de la mitad geométrica que de la aritmética, como corresponde a un crecimiento exponencial).
Interpretación: a las 10 horas hay unas 7794 bacterias, casi dieciséis veces la población inicial.
Dónde se pierde el punto: redondear k a 0,27 y reportar 7440, o contestar «7794,23 bacterias»: se cuentan individuos, así que el resultado se redondea a entero.
Una taza de té se saca del fuego a 80 grados y se deja en una habitación a 18 grados. Su temperatura, en grados, a los t minutos es T(t) = 18 + 62·e^(-0,15t). a) Hallar la temperatura a los 5 minutos. b) ¿Cuánto tiempo hay que esperar para que esté a 40 grados? c) ¿Llega alguna vez a 18 grados?
Planteo: antes de calcular nada, leo el modelo. El 18 es la asíntota (la temperatura del ambiente) y el 62 es la diferencia inicial: 80 − 18. Eso ya me da un control: T(0) = 18 + 62 = 80 ✔, que es la temperatura con la que se sacó del fuego.
a) A los 5 minutos. Es reemplazar y calcular:
Razonable: en cinco minutos perdió unos 33 grados de los 62 que tenía de más. La mayor parte del enfriamiento pasa al principio, cuando la diferencia con el ambiente es grande.
b) ¿Cuándo llega a 40 °C? Igualo y despejo, dejando sola la exponencial en dos movimientos:
e−0,15t = 22/62 ≈ 0,3548
Ahora sí, logaritmo de los dos lados:
Los dos signos negativos se cancelan y t da positivo, que es lo que tenía que pasar. Si te hubiera dado negativo, el despeje estaba mal.
c) ¿Llega a 18 °C? No, nunca. Habría que resolver 62e−0,15t = 0, y una exponencial no vale cero para ningún t. El té se acerca a la temperatura ambiente todo lo que quieras pero no la alcanza: 18 es la asíntota horizontal del modelo.
Control de b) por reemplazo: T(6,9) = 18 + 62·e−1,035 ≈ 18 + 62·0,3552 ≈ 40,0 ✔
Dónde se pierde el punto: en b), tomar logaritmo sin haber pasado antes el 18 y el 62, que es lo mismo que escribir ln(40) = ln(18) + ln(62e−0,15t). Y en c), contestar un número: la respuesta correcta es que no ocurre nunca, y hay que decir por qué.
Dónde se cae la mayoría
- Redondear k a dos decimales y seguir calculando con ese valor: el error se amplifica en el exponente.
- Contestar que la temperatura llega a la ambiente en un tiempo finito. Tiende a ella, pero nunca la alcanza.
- Mezclar unidades: usar t en meses cuando el modelo está escrito con t en años.
- Dar el número pelado sin interpretarlo, o sin aclarar de qué unidad es.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Modelos: crecimiento y enfriamiento →Los otros temas de la unidad 4
Exponenciales, logaritmos y trigonométricas