Matemática (51) · Unidad 4 — Exponenciales, logaritmos y trigonométricas
Ecuaciones trigonométricas en un intervalo
Una ecuación trigonométrica casi nunca tiene una sola solución, y ahí se pierde la mitad de los puntos. La calculadora te da una; la simetría te da la segunda del período; y sumando 2π barrés el intervalo que te pidieron.
La explicación
Por qué no alcanza con despejar
Cuando resolvés 2x + 3 = 7 hay una sola respuesta. Cuando resolvés sen(x) = 1/2 hay infinitas, porque el seno se repite cada 2π y además pasa dos veces por cada valor dentro de un mismo período. Por eso el enunciado siempre acota: «hallar todos los x ∈ [0, 2π]». Ese intervalo no es decorativo: es parte de lo que se evalúa.
El procedimiento, en cuatro pasos
2. Controlar que se pueda. Si el valor quedó fuera de [−1, 1], no hay solución y terminaste.
3. La solución principal. Es el ángulo del primer cuadrante que corresponde a ese valor, con el signo que haga falta. De la tabla de valores notables sale sin calculadora.
4. La otra del período, por simetría. Y recién ahí, sumar y restar 2π hasta barrer todo el intervalo pedido.
Las dos simetrías, que son el corazón del tema
Para el coseno: si x0 es solución, también lo es −x0 (o 2π − x0)
La razón es dónde está cada función de cada signo. El seno es positivo en los cuadrantes I y II y negativo en III y IV: se refleja respecto de la vertical x = π/2. El coseno es positivo en I y IV y negativo en II y III: se refleja respecto del eje x.
Ejemplo con seno: sen(x) = 1/2 tiene solución principal π/6, y la otra es π − π/6 = 5π/6. Ejemplo con coseno: cos(x) = −√2/2 tiene principal 3π/4 (segundo cuadrante, porque es negativo), y la otra es 2π − 3π/4 = 5π/4.
Barrer el intervalo: el paso que se saltea
Una vez que tenés las dos soluciones de un período, se les suma y se les resta 2π mientras sigan cayendo adentro del intervalo pedido. Hay que probarlas una por una, no adivinar cuántas son.
- En [0, 2π] suele haber dos, que son las dos del período base.
- En [−π, π] puede que una de las dos se te haya ido del intervalo y haya que restarle 2π para traerla de vuelta. Por ejemplo, 5π/4 no está en [−π, π], pero 5π/4 − 2π = −3π/4 sí.
- En [0, 3π] hay medio período de más, así que puede haber tres soluciones: a las dos de siempre se suma alguna de las del período siguiente, y a veces sólo una de las dos entra.
Ése es el error que más caro sale: dar una sola solución cuando el intervalo tiene varias. Si el enunciado dice «hallar todos», la respuesta con un solo valor está incompleta aunque ese valor esté bien.
Cuando adentro hay Bx en vez de x
1. Llamá u = 2x y traducí el intervalo: si x ∈ [0, π], entonces u ∈ [0, 2π].
2. Resolvé sen(u) = 1/2 en ese intervalo nuevo: u = π/6 y u = 5π/6.
3. Volvé: x = u/2, o sea x = π/12 y x = 5π/12.
Traducir el intervalo no es opcional: si no lo hacés, se te escapan soluciones, porque al comprimir la onda entran más.
El control que conviene hacer siempre
Dos controles, y los dos rápidos. El primero: reemplazá cada solución en la ecuación original y verificá que da lo pedido. El segundo, el que de verdad atrapa el error de este tema: contá cuántas soluciones tiene que haber mirando el gráfico. Dibujá la onda y la recta horizontal del valor buscado, y contá los cruces dentro del intervalo. Si contaste tres cruces y escribiste dos respuestas, te falta una.
Hallar todos los x del intervalo [0, 2pi] tales que 2·cos(x) − raiz(3) = 0.
Paso 1: despejar. Dejo el coseno solo:
Paso 2: controlar que se pueda. √3/2 ≈ 0,87 está adentro de [−1, 1], así que hay solución. (Si al dividir hubiera quedado cos(x) = √3 ≈ 1,73, acá se terminaba el ejercicio.)
Paso 3: la solución principal. Busco en la tabla el ángulo cuyo coseno vale √3/2. Como el valor es positivo, está en el primer cuadrante:
Paso 4: la otra del período. El coseno es simétrico respecto del eje x, así que la segunda solución es 2π − x1:
Paso 5: barrer el intervalo. ¿Hay más en [0, 2π]? Sumarle 2π a cualquiera de las dos se va afuera, y restarle 2π también. Así que son exactamente dos.
Control 1 (reemplazo): cos(π/6) = √3/2 ⟹ 2·(√3/2) − √3 = 0 ✔, y lo mismo con 11π/6 ✔
Control 2 (contar cruces): la recta y = √3/2 corta a un período completo del coseno en dos puntos, uno bajando y otro subiendo. Dos cruces, dos soluciones ✔
Dónde se pierde el punto: contestar sólo π/6. La cuenta está bien y falta la mitad del ejercicio.
Hallar todos los x del intervalo [0, 3pi] tales que 2·cos(x) + raiz(2) = 0.
Planteo: el intervalo es más largo que un período, así que ya sé que puede haber más de dos soluciones. Ese dato lo tengo antes de empezar a despejar, y conviene anotarlo.
Paso 1: despejar.
Está adentro de [−1, 1], así que hay solución.
Paso 2: las dos del período base. El ángulo cuyo coseno vale √2/2 es π/4. Como el valor pedido es negativo, el ángulo está en el segundo cuadrante:
Paso 3: barrer [0, 3π]. Ahora sumo un período completo a cada una y pruebo una por una si entra. Conviene pasar todo a cuartos de π para comparar: 3π = 12π/4.
- 3π/4 + 2π = 11π/4. ¿Es 11π/4 ≤ 12π/4? Sí, entra.
- 5π/4 + 2π = 13π/4. ¿Es 13π/4 ≤ 12π/4? No, se pasa. Queda afuera.
- Restar 2π a cualquiera da negativo, y el intervalo empieza en 0.
Lo que hay que ver acá: del período siguiente entró una sola de las dos. Por eso no sirve razonar «el intervalo mide un período y medio, así que hay tres» sin verificar cuál de las dos es: hay que probarlas.
Control 1 (reemplazo): cos(11π/4) = cos(11π/4 − 2π) = cos(3π/4) = −√2/2 ✔, y entonces 2·(−√2/2) + √2 = 0 ✔
Control 2 (contar cruces): en [0, 3π] entran una onda y media del coseno. Dibujando la recta y = −√2/2 se cuentan tres cruces, y tengo tres soluciones ✔
Dónde se pierde el punto: contestar dos soluciones porque «en [0, 2π] siempre hay dos», sin mirar que el intervalo era más largo. O contestar cuatro, agregando 13π/4 sin chequear que se pasaba.
Dónde se cae la mayoría
- Dar una sola solución cuando el intervalo pedido contiene varias. Es el error más caro de la unidad.
- Usar la simetría del seno (π − x) para una ecuación con coseno, o al revés. Cada función tiene la suya.
- En sen(2x) = c, resolver para x y después dividir por 2 sin traducir el intervalo: se pierden soluciones.
- Seguir despejando cuando quedó sen(x) = 1,4. Si el valor se fue de [−1, 1], la ecuación no tiene solución.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Ecuaciones trigonométricas en un intervalo →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — Coseno: imagen y todas las soluciones20 puntos · resuelto paso a paso
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