Matemática (51) · Unidad 4 — Exponenciales, logaritmos y trigonométricas

La función exponencial

En una exponencial la x está arriba, y eso cambia todo: el resultado nunca llega a cero pero se le acerca para siempre. Esa recta a la que se pega —la asíntota— es la que te va a dar la imagen sin hacer una sola cuenta.

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La explicación

Para qué sirve y en qué se distingue

Hasta acá la x estuvo siempre abajo: en 2x, en x², en x³. En una exponencial la x está en el exponente:

f(x) = a^x con a > 0 y a ≠ 1

La diferencia no es cosmética. En x² pasar de x = 10 a x = 20 multiplica el resultado por 4. En 2^x pasar de 10 a 20 lo multiplica por mil. Por eso las exponenciales modelan lo que crece (o decae) multiplicándose: una población, un capital, la carga de una batería.

Se pide a > 0 porque si no, (−4)^1/2 no existe; y a ≠ 1 porque 1^x es la constante 1 y no tiene nada de exponencial.

El número e

La base que se usa casi siempre es e ≈ 2,718…, un irracional. Que sea rara no importa: e^x se comporta igual que 2^x o que 5^x, porque e está entre 1 y ∞. Aparece en todos lados porque es la base con la que las cuentas de derivadas salen más limpias, pero para este tema lo único que necesitás saber es que e > 1.

Lo que vale para toda exponencial

Dom f = ℝ · Im f = (0, +∞) · asíntota horizontal y = 0
a⁰ = 1 siempre · a^x > 0 siempre

Por qué nunca vale cero. a⁻⁵ no es negativo: es 1/a⁵, una fracción chiquita pero positiva. Y por más que agrandes el exponente negativo, una fracción de positivos no da cero. Por eso a^x = 0 no tiene solución: la ecuación e^x = 0 no se resuelve, se descarta. Esto es la mitad de los puntos de esta unidad.

Crece o decrece según la base

Si a > 1 (2^x, e^x, 10^x): creciente. Explota hacia la derecha y se aplasta contra el eje x hacia la izquierda.
Si 0 < a < 1 ((1/2)^x, 0,9^x): decreciente. Es la anterior espejada, porque (1/2)^x = 2^−x.

Las dos pasan por (0, 1) y las dos tienen la misma asíntota. Lo único que cambia es de qué lado se aplastan.

El procedimiento: correrla y estirarla

Frente a f(x) = c·a^x−h + k, no grafiques punto por punto. Leé los parámetros:
1. El + k de afuera sube todo el gráfico k unidades, y se lleva la asíntota con él: pasa a ser y = k.
2. La imagen sale de ahí: si c > 0 queda (k, +∞); si c < 0 la curva cuelga para abajo de la asíntota y queda (−∞, k).
3. El − h del exponente corre la curva h unidades a la derecha. No toca ni la imagen ni la asíntota.
4. El c de adelante la estira; si es negativo, además la da vuelta.
5. Recién ahí buscás el cero, si lo hay: c·a^x−h = −k.

Fijate el orden lógico: la asíntota decide la imagen, y la imagen decide si hay cero. Si la asíntota es y = 3 y la curva va para arriba, la imagen es (3, +∞), que no contiene al 0, así que esa función no tiene ceros y no hace falta plantear nada.

El control que conviene hacer siempre

Evaluá en un valor cómodo, el que hace cero el exponente. En f(x) = 4e^x−3 − 12 ese valor es x = 3, y ahí da 4 − 12 = −8. Si tu gráfico o tu imagen no son compatibles con ese punto, algo se corrió. Y mirá siempre si el valor de la asíntota está excluido: la imagen de una exponencial nunca lleva corchete del lado de k.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Sea f(x) = 4^(x - 3). Dar el dominio, la imagen, la asíntota horizontal y los ceros, y decir en qué parte del eje x la función es positiva.

Planteo: exponencial de base 4 y sin ningún término sumado afuera. Eso es lo primero que hay que mirar, porque es lo que decide si hay ceros o no. El −3 vive adentro del exponente: corre la curva tres unidades a la derecha y nada más.

Dominio: x − 3 se puede calcular con cualquier real, y una base positiva se puede elevar a cualquier exponente. Dom f = ℝ.

Asíntota e imagen: al no haber término sumado afuera, la curva se aplasta contra el eje x de siempre:

y = 0 → Im f = (0, +∞)

El 0 va con paréntesis y no con corchete: la curva se le arrima todo lo que quieras, pero no lo alcanza en ningún x.

Ceros: habría que resolver 4^x−3 = 0, y acá está el punto del ejercicio: no hay solución. Una potencia de base positiva da siempre positivo. f no tiene ceros.

Positividad: si todos los valores que toma son mayores que 0, es positiva en todas partes:

C⁺ = ℝ · C⁻ = ∅

Control: pruebo en el x que anula el exponente, x = 3: f(3) = 4⁰ = 1 ✔ Positivo y por encima de la asíntota, como tenía que dar. Y un valor bien a la izquierda: f(1) = 4⁻² = 1/16, chiquito pero positivo ✔

Dónde se pierde el punto: contestar «no tiene ceros» sin decir por qué. Lo que se pide justificar es que el 0 no pertenece a la imagen. El otro error caro es mirar el −3 y dar y = −3 como asíntota: ese número está adentro del exponente y no mueve la curva para arriba ni para abajo.

Y uno del nivel del parcial

Sea f(x) = 5e^(x+1) − 10. Hallar dominio, imagen, asíntota horizontal, ceros y conjuntos de positividad y de negatividad. Decir además si f es creciente o decreciente.

Planteo: ahora hay un término restado afuera, y ése es el que manda. Separo los tres parámetros: el 5 estira, el +1 del exponente corre, y el −10 baja todo el gráfico diez unidades.

Dominio: no hay ninguna restricción, Dom f = ℝ.

Asíntota horizontal: el pedazo 5e^x+1 se acerca a 0 cuando x se va a −∞, así que f se acerca a 0 − 10:

y = −10

Imagen: como 5e^x+1 > 0 siempre, al restarle 10 queda siempre algo mayor que −10, y nunca igual:

Im f = (−10, +∞)

Ceros: ahora sí hay, porque el 0 está adentro de la imagen. Y conviene mirarlo antes de despejar: si la imagen no lo contuviera, no habría nada que hacer.

5e^x+1 − 10 = 0 → e^x+1 = 2 → x + 1 = ln(2) → x = ln(2) − 1 ≈ −0,31

Crecimiento: la base es e > 1 y el 5 que multiplica es positivo, así que f es creciente en todo ℝ.

Positividad y negatividad: una función creciente con un solo cero es negativa antes y positiva después:

C⁺ = (ln(2) − 1, +∞) · C⁻ = (−∞, ln(2) − 1)

Control: reemplazo el cero en la original: 5e^ln(2)−1+1 − 10 = 5e^{ln 2} − 10 = 5·2 − 10 = 0 ✔. Y un segundo control barato: f(−1) = 5 − 10 = −5, que es negativo y −1 < −0,31, así que cae en C⁻ ✔.

Dónde se pierde el punto: dividir mal al despejar (pasar el 5 restando en vez de dividiendo) y dar la imagen con corchete en el −10.

Dónde se cae la mayoría

Escribir la imagen como [k, +∞) con corchete: el valor de la asíntota nunca se alcanza.
Buscarle ceros a e^x + 5 planteando e^x = −5. Una exponencial nunca da negativo, así que no hay solución y no hay nada que despejar.
Dejar la asíntota en y = 0 cuando la función tiene un término sumado afuera: ese término se la lleva.
Creer que el desplazamiento del exponente (el x − h) cambia la imagen. Corre la curva, pero la asíntota y la imagen quedan donde estaban.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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