Matemática (51) · Unidad 3 — Función homográfica y límites
Hallar parámetros a partir de las asíntotas
Acá el ejercicio va al revés: en vez de darte la función y pedirte las asíntotas, te da las asíntotas y te pide la función. Y cada dato del enunciado se traduce en una ecuación, así que el trabajo es armar el sistema y resolverlo.
La explicación
El ejercicio dado vuelta
Hasta acá venías haciendo: función → asíntotas. Ahora es al revés: te dan condiciones y tenés que encontrar los coeficientes. No hay técnica nueva; hay que usar lo de 3.4 y 3.5 leído en el otro sentido.
El diccionario: cada dato es una ecuación
Para f(x) = (a·x + b)/(x + c):
«y = L es asíntota horizontal» → cociente de coeficientes principales: a = L
«r es un cero de f» → el numerador se anula en r: a·r + b = 0
«f(p) = q» → se reemplaza y queda una ecuación: (a·p + b)/(p + c) = q
Tres incógnitas piden tres datos. Dos incógnitas, dos datos. Si te dan menos, el ejercicio tiene infinitas soluciones y seguramente leíste mal.
El procedimiento
2. Empiezo por la que tiene una sola incógnita. Casi siempre es la asíntota vertical (sale sola del denominador) o la horizontal.
3. Reemplazo ese valor en las otras y las voy resolviendo en cadena.
4. Escribo la función completa con los números hallados.
5. Verifico las tres condiciones sobre la función escrita. No es opcional: es la mitad del puntaje.
El paso 2 es el que ahorra tiempo. Armar el sistema completo y resolverlo con sustitución también funciona, pero acá casi siempre hay una ecuación que se resuelve sola y desarma todo lo demás.
Un ejemplo completo
«Hallar a, b y c para que f(x) = (a·x + b)/(x + c) tenga asíntota vertical x = 4, asíntota horizontal y = −3, y un cero en x = 2.»
horizontal en −3: a/1 = −3 → a = −3
cero en 2: a·2 + b = 0 → −6 + b = 0 → b = 6
Verificación: el denominador se anula en 4 ✔, el cociente de coeficientes de x es −3/1 = −3 ✔, y f(2) = 0/(−2) = 0 ✔ Las tres condiciones se cumplen.
Cuando el parámetro está en el denominador
Es el caso que más cuesta, porque el mismo parámetro puede afectar a las dos asíntotas. Con f(x) = (5x + 3)/(k·x − 12) y asíntota vertical x = 3:
Fijate el orden: primero se halla k con el dato que lo determina, y recién después se calcula lo demás. Al revés no se puede, porque la horizontal depende de k.
El control que conviene hacer siempre
Escribí la función con los números encontrados y recorré el enunciado condición por condición, tachando cada una. Es rápido y atrapa el error más caro del tema: resolver bien el sistema pero copiar mal un signo al escribir la función final.
Sea f(x) = (a x + b)/(x + c). Hallar a, b y c sabiendo que la recta x = 4 es asíntota vertical, la recta y = -3 es asíntota horizontal y x = 2 es un cero de f.
Planteo: tres incógnitas y tres datos. Traduzco cada dato a una ecuación y empiezo por las que se resuelven solas.
La asíntota vertical. Que x = 4 sea asíntota significa que el denominador se anula en 4:
Ojo con el signo: el dato es 4, pero el parámetro que sale es −4. Es el error más común del tema.
La asíntota horizontal. Arriba y abajo son de grado 1, así que la altura es el cociente de los coeficientes de la x: a sobre 1.
Fijate que b no participa: es de grado 0 y queda aplastado cuando x se va al infinito.
El cero. Que 2 sea cero de f significa que el numerador se anula en 2, y ya sé cuánto vale a:
La función.
Verificación, condición por condición. El denominador x − 4 se anula en 4 ✔ El cociente de los coeficientes de la x es −3/1 = −3, así que la horizontal es y = −3 ✔ Y f(2) = (−6 + 6)/(2 − 4) = 0/(−2) = 0 ✔
Las tres se cumplen. La verificación no es un adorno: si hubiera copiado c = 4 en vez de −4, el primer tilde no salía y el error aparecía acá, no en la corrección.
Sea f(x) = (5x + 3)/(k x - 12). Hallar k para que la recta x = 3 sea asíntota vertical. Para ese k, dar la ecuación de la asíntota horizontal, el cero de f, y el lateral por derecha en la asíntota vertical.
Planteo: acá el parámetro está en el denominador, y eso cambia el orden de trabajo: la asíntota horizontal depende de k, así que no se puede calcular antes de hallarlo.
Hallo k. Que x = 3 sea asíntota vertical significa que el denominador se anula en 3:
La función queda f(x) = (5x + 3)/(4x − 12). Antes de seguir, verifico: 4·3 − 12 = 0 ✔ y el numerador en 3 vale 18, que no es cero, así que la asíntota es de verdad y no un agujero.
La asíntota horizontal. Ahora sí, con k = 4, arriba y abajo son de grado 1:
El cero. Anulo el numerador: 5x + 3 = 0 → x = −3/5 = −0,6. Está en el dominio, así que sirve.
El lateral por derecha en 3. Dos preguntas: el numerador en 3 vale 18, positivo; y por derecha el denominador 4x − 12 es positivo y chiquito.
Control numérico: f(3,01) = 18,05/0,04 ≈ 451 ✔ Por izquierda, f(2,99) = 17,95/(−0,04) ≈ −449, o sea −∞. Y a lo lejos, f(1000) = 5003/3988 ≈ 1,2545, que se arrima a 1,25 ✔
Dónde se pierde el punto: contestar que la horizontal es y = 5 (dividiendo por el 1 que no está, en vez de por el coeficiente 4 que quedó), y resolver 3k − 12 = 0 como k = 12/3 sin fijarse de dónde salió el 3.
Dónde se cae la mayoría
- Usar el término independiente del numerador para la asíntota horizontal en vez del coeficiente de la x.
- Al traducir «asíntota vertical x = 4», escribir c = 4 en vez de resolver 4 + c = 0, que da c = −4.
- Con el parámetro en el denominador, calcular la asíntota horizontal antes de haberlo hallado.
- Resolver el sistema y no verificar: un signo mal copiado al escribir la función final se lleva el punto entero.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Hallar parámetros a partir de las asíntotas →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — Las dos asíntotas20 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 3
Función homográfica y límites