Matemática (51) · Unidad 3 — Función homográfica y límites

Asíntotas verticales

Que el denominador se anule en un punto no alcanza para que haya asíntota vertical: si el numerador se anula en el mismo lugar, el factor se cancela y lo que queda es un agujero, no una explosión.

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La explicación

Dónde hay que ir a buscarlas

Una asíntota vertical es una recta x = x₀ contra la que el gráfico se dispara: al acercarse a x₀, los valores de f se van a +∞ o a −∞. La definición formal es exactamente ésa:

x = x₀ es asíntota vertical de f ⟺ alguno de los dos laterales en x₀ da +∞ o −∞

Los únicos candidatos son los valores que anulan el denominador, porque son los únicos donde la función puede romperse. Pero ser candidato no es serlo.

Asíntota o agujero: la pregunta que decide

Después de encontrar un cero del denominador, hay que mirar si el numerador también se anula ahí:

Si el numerador no se anula, queda «un número distinto de cero dividido algo que tiende a cero», que es enorme: hay asíntota vertical.
Si el numerador también se anula, el factor (x − x₀) aparece arriba y abajo y se cancela. El límite da un número finito: no hay asíntota, hay un agujero.

Un agujero (o discontinuidad evitable) es un único punto que le falta al gráfico: la curva pasa por ahí como si nada, pero ese punto no pertenece a la función. No se ve dibujando, y sin embargo cambia la respuesta del ejercicio.

El procedimiento

1. Factorizo el numerador y el denominador por completo.
2. Anoto todos los ceros del denominador: ésos son los candidatos, y también son lo que se saca del dominio.
3. Simplifico los factores comunes.
4. Los ceros del denominador que sobrevivieron a la simplificación son las asíntotas verticales. Los que se cancelaron son agujeros.
5. Para cada asíntota, calculo los dos laterales y decido el signo del infinito en cada lado.

Atención al paso 2: el valor que se cancela sigue fuera del dominio. Que el límite exista no hace que la función exista ahí.

El signo del infinito en cada lado

Ésta es la parte que más se equivoca, y se resuelve con dos preguntas, no con una:

1. ¿Qué signo tiene el numerador en x₀? Reemplazo y miro. (Es un número fijo, el mismo de los dos lados.)
2. ¿Qué signo tiene el denominador al acercarme por ese lado? Tomo un x muy cerca de x₀, del lado que corresponda, y miro el signo.
3. Signos iguales → +∞. Signos distintos → −∞.

Por ejemplo, en f(x) = (x + 4)/(x + 1) cerca de x = −1: el numerador vale 3, positivo. Por izquierda (x = −1,01) el denominador vale −0,01, negativo → el cociente es negativo y enorme: −∞. Por derecha (x = −0,99) el denominador es +0,01 → +∞.

lim_x→−1⁻ (x+4)/(x+1) = −∞ · lim_x→−1⁺ (x+4)/(x+1) = +∞

Fijate que ahí el límite no existe como número, y sin embargo la asíntota sí: «no existe» y «se va al infinito» describen cosas distintas, aunque ninguna de las dos sea un número.

Cuántas puede haber

Tantas como ceros no cancelados tenga el denominador. Una homográfica tiene exactamente una; un cociente con denominador de grado 2 puede tener dos, una, o ninguna. Las horizontales, en cambio, son a lo sumo dos (una por cada lado del infinito).

El control que conviene hacer siempre

Evaluá en x₀ ± 0,01. Si te da un número gigante, es asíntota, y el signo del número te confirma el lado. Si te da algo chiquito y razonable, era un agujero y la asíntota no existía. Es el control que atrapa el error de declarar asíntota a un factor que se cancelaba.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Hallar el dominio y las asíntotas verticales de f(x) = (x - 3)/(x^2 - 9), y calcular los laterales en cada una.

Planteo: lo primero es factorizar los dos polinomios. Sin eso no se puede saber cuáles de los candidatos son asíntotas de verdad.

x² − 9 = (x − 3)(x + 3)

Los candidatos. El denominador se anula en x = 3 y en x = −3, así que ésos son los dos valores que hay que sacar del dominio:

Dom(f) = ℝ − {−3, 3}

Simplifico. El (x − 3) de arriba se cancela con el de abajo:

(x − 3)/((x − 3)(x + 3)) = 1/(x + 3) para x ≠ 3

Quién sobrevivió. El −3 sigue anulando el denominador de lo que quedó: x = −3 es asíntota vertical. El 3, en cambio, se canceló: ahí hay un agujero, no una asíntota.

lim_x→3 f(x) = 1/(3 + 3) = 1/6

El límite existe y vale 1/6, pero f(3) no existe: el gráfico tiene un punto faltante a esa altura.

Los laterales en −3. El numerador de 1/(x + 3) es 1, positivo siempre. Sólo decide el denominador:

por izquierda (x = −3,01): x + 3 = −0,01 < 0 → −∞
por derecha (x = −2,99): x + 3 = +0,01 > 0 → +∞

Control: f(−3,01) = 1/(−0,01) = −100 y f(−3,001) = −1000: se hunde ✔ Y f(3,01) = 1/6,01 ≈ 0,1664, chiquito y razonable, que confirma que ahí no había asíntota ✔

Y uno del nivel del parcial

Sea f(x) = (x^2 - 16)/(x^2 - 3x - 4). Hallar el dominio, las asíntotas verticales con sus laterales, el agujero si lo hay, y la ecuación de la asíntota horizontal.

Planteo: arriba y abajo son cuadráticas, así que hay dos candidatos y la factorización es obligatoria: es lo único que distingue una asíntota de un agujero.

Factorizo. Arriba es diferencia de cuadrados. Abajo busco dos números que sumen −3 y multipliquen −4:

x² − 16 = (x − 4)(x + 4)
x² − 3x − 4 = (x − 4)(x + 1)

Dominio. El denominador se anula en 4 y en −1, y los dos salen:

Dom(f) = ℝ − {−1, 4}

Simplifico. El (x − 4) está arriba y abajo:

f(x) = (x + 4)/(x + 1) para x ≠ 4

El agujero. El 4 se canceló, así que ahí no hay asíntota:

lim_x→4 f(x) = 8/5 = 1,6

El gráfico pasa por la altura 1,6 pero le falta ese punto exacto.

La asíntota vertical. El −1 sobrevivió, así que x = −1 es asíntota. Para los laterales, miro los dos signos: el numerador en −1 vale −1 + 4 = 3, positivo.

por izquierda (x = −1,01): abajo −0,01 < 0 → positivo/negativo = −∞
por derecha (x = −0,99): abajo +0,01 > 0 → positivo/positivo = +∞

La asíntota horizontal. En la función simplificada arriba y abajo son de grado 1 y los coeficientes principales son 1 y 1:

y = 1

Control numérico: f(−1,01) = 2,99/(−0,01) = −299 ✔ y f(−0,99) = 3,01/0,01 = 301 ✔ En cambio f(4,01) = 8,01/5,01 ≈ 1,5988, chiquito: ahí no hay nada que explote ✔

Dónde se pierde el punto: anunciar dos asíntotas verticales porque el denominador tiene dos ceros, y dejar el 4 adentro del dominio porque «el límite existe». El límite existe y el dominio igual lo excluye.

Dónde se cae la mayoría

Declarar asíntota vertical a todo cero del denominador sin fijarse si se cancela con el numerador.
Dejar adentro del dominio el valor que se canceló: aunque el límite exista, ahí la función no está definida.
Decidir el signo del infinito mirando sólo el denominador y olvidarse del signo del numerador.
Dar la asíntota como un número suelto en vez de escribir la ecuación x = x_0.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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Dónde entra este tema en el parcial

Primer parcial — Las dos asíntotas20 puntos · resuelto paso a paso

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