Matemática (51) · Unidad 3 — Función homográfica y límites

Función homográfica: dominio, imagen y ceros

Una homográfica es una recta dividida por otra, y con eso solo ya sabés casi todo de ella: el denominador te dice qué x está prohibida, el numerador dónde cruza el eje x, y los dos coeficientes de adelante qué altura nunca va a alcanzar.

Practicar este tema →7 ejercicios que te corrigen paso a paso · gratis, sin cuenta

La explicación

Por qué aparece esta función

Cada vez que una cantidad se reparte entre otra que también cambia, aparece un cociente: la concentración de sal en un tanque al que le entra agua, el costo por unidad cuando hay un gasto fijo, la velocidad media en función del tiempo. Todas tienen la misma forma.

f(x) = (a·x + b) / (c·x + d) con c ≠ 0 y a·d − b·c ≠ 0

Las dos condiciones no son decoración. Si c fuera 0 el denominador sería una constante y quedaría una recta. Y si a·d − b·c fuera 0, el numerador sería un múltiplo del denominador y la función sería constante en todo su dominio. Con las dos condiciones puestas, lo que queda es una hipérbola.

Dominio: el x que rompe todo

Dividir por cero no está definido. Así que se busca el valor que anula el denominador y se lo saca:

c·x + d = 0 → x = −d/c
Dom(f) = ℝ − {−d/c}

Es un solo valor, siempre, porque el denominador es una recta y una recta tiene un cero solo.

Ceros: donde el numerador se hace cero

Una fracción vale 0 cuando su numerador vale 0 y el denominador no. Como acá el numerador y el denominador se anulan en lugares distintos, alcanza con resolver a·x + b = 0:

x = −b/a (si a ≠ 0; si a = 0 la función no tiene ceros)

Imagen: el valor que nunca se alcanza

Acá está lo que más se olvida. Para saber qué valores de y se alcanzan, se despeja x en función de y:

y = (a·x + b)/(c·x + d) → y·(c·x + d) = a·x + b → x·(y·c − a) = b − y·d
x = (b − y·d) / (y·c − a)

De ahí se ve que hay un único y para el que la cuenta se rompe: el que hace y·c − a = 0, o sea y = a/c. Ése es el único valor que la función no toma nunca.

Im(f) = ℝ − {a/c}

Y a/c es, ni más ni menos, el cociente de los coeficientes que van adelante: el de la x de arriba sobre el de la x de abajo. En 3.4 va a volver a aparecer, con otro nombre: es la altura de la asíntota horizontal.

El procedimiento completo

1. Igualo el denominador a cero y despejo: ése x no va en el dominio.
2. Igualo el numerador a cero y despejo: ése es el cero de f.
3. Divido los coeficientes de la x, arriba sobre abajo: ése valor es el que le falta a la imagen.
4. Marco en la recta el cero y el valor prohibido del dominio. Quedan tres tramos.
5. Evalúo f en un punto cualquiera de cada tramo y me quedo sólo con el signo. Eso arma el cuadro.
6. Escribo C⁺ como la unión de los tramos donde dio positivo, y C⁻ con los otros.

En el paso 5 no hace falta la cuenta completa: alcanza con mirar si el numerador y el denominador son positivos o negativos. Dos signos iguales dan positivo, dos distintos dan negativo.

Cómo es el gráfico

Son dos ramas separadas, una a cada lado de la recta vertical x = −d/c, y las dos se aplastan contra la recta horizontal y = a/c sin tocarla nunca. Esas dos rectas —que no forman parte del gráfico— son las asíntotas, y se cruzan en el «centro» de la hipérbola.

Para dibujarla alcanza con las dos asíntotas punteadas, el cero, y el valor f(0) donde corta el eje y. Con eso cada rama queda determinada.

El control que conviene hacer siempre

El cero y el valor prohibido del dominio nunca coinciden en una homográfica de verdad. Si te dieron el mismo número, o copiaste mal un coeficiente o la función se simplifica y no era homográfica. Y el cero siempre tiene que caer en el dominio: reemplazá y comprobá que f del cero da exactamente 0.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Hallar dominio, cero, imagen y los conjuntos de positividad y negatividad de f(x) = (2x − 6)/(x + 1).

Planteo: es una homográfica, así que todo sale de mirar el numerador y el denominador por separado. Arranco por los dos números que organizan la recta.

Dominio: anulo el denominador. x + 1 = 0 da x = −1, y ése es el único valor que hay que sacar.

Dom(f) = ℝ − {−1}

Cero: anulo el numerador. 2x − 6 = 0 da x = 3. Como 3 está en el dominio, es un cero de verdad.

Imagen: el cociente de los coeficientes de la x es 2/1 = 2, así que a la imagen le falta el 2.

Im(f) = ℝ − {2}

Cuadro de signos: los puntos que parten la recta son el −1 y el 3. Quedan tres tramos, y en cada uno evalúo:

x = −5 → f(−5) = (−16)/(−4) = 4 > 0
x = 0 → f(0) = (−6)/(1) = −6 < 0
x = 10 → f(10) = 14/11 > 0

Con los signos armados:

C⁺ = (−∞, −1) ∪ (3, +∞)
C⁻ = (−1, 3)

Fijate que los dos extremos van con paréntesis: en −1 la función no existe y en 3 vale 0, y 0 no es ni positivo ni negativo.

Control: f(3) = (6 − 6)/4 = 0 ✔, y el signo cambia exactamente en −1 y en 3, que son los dos únicos lugares donde puede cambiar.

Y uno del nivel del parcial

Sea g(x) = (−2x + 6)/(x + 4). Hallar dominio, cero, imagen, conjuntos de positividad y negatividad, y las rectas contra las que se acuesta el gráfico.

Planteo: lo mismo que siempre, pero acá el coeficiente de la x de arriba es negativo, y eso da vuelta la mitad de los signos. Conviene ir despacio.

Dominio. x + 4 = 0 → x = −4.

Dom(g) = ℝ − {−4}

Cero. −2x + 6 = 0 → 2x = 6 → x = 3. Está en el dominio, así que sirve.

Imagen. El cociente de los coeficientes de la x es (−2)/1 = −2. Con el signo: el valor que falta es −2, no 2.

Im(g) = ℝ − {−2}

Cuadro de signos. Cortan el −4 y el 3, y quedan tres tramos. Miro los signos sin hacer la cuenta entera:

x < −4: arriba +, abajo − → negativo  (g(−10) = −13/3)
−4 < x < 3: arriba +, abajo + → positivo  (g(0) = 3/2)
x > 3: arriba −, abajo + → negativo  (g(5) = −4/9)

C⁺ = (−4, 3)
C⁻ = (−∞, −4) ∪ (3, +∞)

Las rectas del gráfico. La vertical es x = −4, la misma que salió del dominio; la horizontal es y = −2, la misma que salió de la imagen. Se escriben como ecuaciones, no como números sueltos.

Control: g(3) = 0 ✔, g(0) = 6/4 = 3/2 cae en el tramo positivo ✔, y g(−10) = −13/3 ≈ −4,33 ya está por debajo de −2, del lado correcto de la horizontal.

Dónde se pierde el punto: escribir la imagen como ℝ − {2} olvidando el menos, y dar la positividad al revés porque se armó el cuadro con el numerador de una función y el denominador de otra.

Dónde se cae la mayoría

Sacarle al dominio el cero del numerador en vez del cero del denominador.
Decir que la imagen es todo ℝ: a una homográfica siempre le falta exactamente un valor.
Calcular la imagen como b/d en vez de a/c: el valor prohibido sale de los coeficientes de la x, no de los términos independientes.
Armar el cuadro de signos con un solo punto de corte y olvidarse del otro: hay dos, el cero y el del denominador, y entonces hay tres tramos.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

Practicar Función homográfica: dominio, imagen y ceros →

Dónde entra este tema en el parcial

Primer parcial — Las dos asíntotas20 puntos · resuelto paso a paso

Los otros temas de la unidad 3

Función homográfica y límites

Ver todos los temas de Matemática (51)