Matemática (51) · Parcial modelo

Primer parcial de Matemática (51), resuelto paso a paso

Es un parcial modelo, escrito por nosotros. No es el parcial de ninguna cátedra ni de ninguna fecha: está armado con el temario y el formato de los que se toman, para que puedas practicar con algo parecido.

Inecuaciones con cociente y con módulo, parábolas, polinomios y Bolzano, composición e inversa, y homográficas con sus asíntotas: todo lo que entra hasta límites.

5 ejercicios, 25 preguntas, 120 minutos. Se aprueba con 60 sobre 100.

Rendirlo vos primero →Sin corrección hasta entregarlo, como el de verdad · después te da la nota y a qué temas volver

Las consignas

Cinco ejercicios, dos horas, como el de verdad. No hay pistas ni corrección paso a paso: escribís todo y recién al entregar aparece la nota, la resolución completa y qué temas te conviene repasar.

Los ejercicios encadenan: lo que hallás en un ítem casi siempre es el dato del siguiente. Si uno no sale, seguí igual con el valor que te haya dado — se corrige ítem por ítem.

Para escribir las respuestas: los conjuntos van como intervalos o unión de intervalos, con ∪ o con una U mayúscula y con inf o ∞ donde haga falta, así (-inf,2]U(5,+inf). Los puntos del plano van como (x, y). Un dominio al que le falta un número se escribe R-{5}. Decimales con coma. Y si un resultado es negativo, poné el signo.

Ejercicio 1 — Los dos conjuntos 20 puntos

Sean A = {x ∈ ℝ / (x − 5)/(x + 2) ≤ 2} y B = {x ∈ ℝ / |2x − 3| ≥ 7}. Escribir A, B y A ∩ B como un intervalo o una unión de intervalos.

a) ¿Qué número hay que sacar del dominio antes de empezar, porque ahí la expresión de A no existe?
b) Escribir A como intervalo o unión de intervalos.
c) Escribir B como intervalo o unión de intervalos.
d) Escribir A ∩ B como intervalo o unión de intervalos.
e) Mucha gente resuelve A pasando (x + 2) multiplicando al otro miembro. ¿Por qué no se puede?

Resolución

a) El denominador se anula en x = −2. Ahí la expresión directamente no existe, así que ese número queda afuera del conjunto pase lo que pase, y encima es uno de los bordes del cuadro de signos.

b) Todo sale de pasar el 2 para la izquierda y dejar un solo cociente comparado con cero. Ese es el método, y no tiene alternativa:

(x − 5)/(x + 2) − 2 ≤ 0
(x − 5 − 2(x + 2))/(x + 2) ≤ 0
(x − 5 − 2x − 4)/(x + 2) ≤ 0
(−x − 9)/(x + 2) ≤ 0 → (x + 9)/(x + 2) ≥ 0

En el último paso se multiplicó por −1 arriba y abajo, y por eso el ≤ se dio vuelta. Ahora sí, el cuadro de signos con los dos bordes, −9 y −2:

x < −9  →  (−)/(−) = +
−9 < x < −2  →  (+)/(−) = −
x > −2  →  (+)/(+) = +

A = (−∞, −9] ∪ (−2, +∞)

Los dos bordes no se escriben igual, y ahí se pierde el punto. El −9 entra con corchete: anula el numerador, así que ahí el cociente vale 0 y el ≥ 0 acepta el cero. El −2 queda afuera con paréntesis: anula el denominador, y eso no se arregla con el símbolo de la desigualdad. Un ≤ o un ≥ nunca hacen entrar al cero del denominador.

Control rápido, que cuesta diez segundos y salva el ejercicio: x = −10 da 15/8 ≤ 2 ✔, x = −3 da 8 ≤ 2 ✘, x = 0 da −5/2 ≤ 2 ✔. Los tres tramos coinciden con lo que dice el cuadro.

c) El módulo mayor o igual se parte en dos casos unidos por «o», no por «y»:

2x − 3 ≥ 7 → x ≥ 5
2x − 3 ≤ −7 → x ≤ −2

B = (−∞, −2] ∪ [5, +∞)

Acá los dos bordes sí entran, con corchete los dos, porque el ≥ acepta la igualdad y no hay ningún denominador que lo impida. Si el símbolo hubiera sido <, el conjunto habría sido un solo intervalo entre los dos números, no dos rayos: el módulo chico junta y el módulo grande separa.

d) La intersección es lo que está en los dos a la vez. Conviene dibujar las dos rectas una debajo de la otra y mirar dónde se superponen:

A: (−∞, −9] (−2, +∞)
B: (−∞, −2] [5, +∞)
────────────────────────
A ∩ B = (−∞, −9] ∪ [5, +∞)

El tramo (−2, +∞) de A y el tramo (−∞, −2] de B no comparten nada: uno arranca justo donde el otro termina, y el −2 está afuera de A. Y (−∞, −9] ya está adentro de (−∞, −2], así que entra entero.

e) Porque x + 2 puede ser negativo. Multiplicar los dos miembros de una desigualdad por algo negativo da vuelta el signo, y como no sabemos el signo de x + 2 —depende del x que estemos mirando, que es justo lo que queremos averiguar— no hay una sola cuenta válida para todos los casos.

Se puede hacer igual, pero abriendo dos casos: uno suponiendo x + 2 > 0 (y el símbolo queda) y otro suponiendo x + 2 < 0 (y el símbolo se da vuelta), y después quedándose en cada caso con lo que además cumpla la suposición. Da lo mismo, tarda el doble y se presta a olvidarse una rama. Por eso el camino estándar es el de arriba: todo a un lado, un solo cociente, cuadro de signos.

Si te costó, está explicado en: 1.3 Inecuaciones con producto y cociente · 1.4 Módulo: ecuaciones e inecuaciones · 1.1 La recta real, los intervalos y los conjuntos

Ejercicio 2 — La parábola y la recta 20 puntos

Sean f(x) = −x² + 6x − 5 y g(x) = −2x + 7. Estudiar la parábola de f y hallar dónde se cortan los gráficos de f y g.

a) Dar el vértice de la parábola, como un par (x, y).
b) Dar la imagen de f.
c) Hallar los ceros de f.
d) Dar el conjunto de positividad de f.
e) Hallar los puntos donde se cortan los gráficos de f y de g. Darlos como pares (x, y).

Resolución

a) La abscisa del vértice sale de la fórmula, con a = −1 y b = 6:

x_v = −b/(2a) = −6/(2·(−1)) = 3
y_v = f(3) = −9 + 18 − 5 = 4 → V = (3, 4)

Control por otro camino, completando cuadrados hasta la forma canónica:

f(x) = −(x² − 6x) − 5 = −((x − 3)² − 9) − 5 = −(x − 3)² + 4

La canónica canta el vértice sola: (3, 4) ✔. Vale la pena escribirla igual aunque no la pidan, porque los ítems b y c salen de ella en un renglón.

b) Acá está la primera trampa: a = −1 < 0, así que la parábola abre hacia abajo y el vértice es el punto más alto. Entonces f nunca supera el 4:

Im f = (−∞, 4]

El 4 entra con corchete porque se alcanza, justo en x = 3. Contestar «todos los reales» es el error más repetido del ejercicio: eso sería cierto para una recta, no para una parábola.

c) Los ceros, con resolvente o desde la canónica. Desde la canónica es más corto:

−(x − 3)² + 4 = 0 → (x − 3)² = 4 → x − 3 = ±2
x = 1 y x = 5

Control con la resolvente: x = (−6 ± √(36 − 20))/(−2) = (−6 ± 4)/(−2), que da 1 y 5 ✔. Y otro control gratis: los ceros tienen que caer simétricos respecto del vértice, y 1 y 5 están los dos a distancia 2 de 3 ✔

d) Con los ceros y sabiendo para dónde abre, la positividad sale sin cuentas:

f factorizada: f(x) = −(x − 1)(x − 5)
C⁺ = (1, 5) · C⁻ = (−∞, 1) ∪ (5, +∞)

El signo de a decide cuál es cuál. Con la parábola abierta hacia abajo, lo positivo es lo de adentro y lo negativo lo de los costados. Si a fuera positivo sería exactamente al revés. Es un intercambio que se hace solo cuando uno se aprende «C⁺ es lo de afuera» sin mirar el signo.

Control: f(3) = 4 > 0, y el 3 está adentro de (1, 5) ✔. f(0) = −5 < 0, y el 0 está afuera ✔

e) Cortarse significa tener la misma imagen para el mismo x, así que se igualan las dos fórmulas:

−x² + 6x − 5 = −2x + 7
−x² + 8x − 12 = 0 → x² − 8x + 12 = 0
x = (8 ± √(64 − 48))/2 = (8 ± 4)/2 → x = 2 y x = 6

Pero la consigna pide puntos, no valores de x. Falta reemplazar para conseguir la ordenada, y conviene hacerlo en las dos funciones, porque si dan distinto hay un error antes:

f(2) = −4 + 12 − 5 = 3 · g(2) = −4 + 7 = 3 ✔
f(6) = −36 + 36 − 5 = −5 · g(6) = −12 + 7 = −5 ✔

Los puntos son (2, 3) y (6, −5)

Dejar la respuesta en «x = 2 y x = 6» es medio ejercicio, y es donde se va el punto más barato de todo el parcial: el reemplazo son dos cuentas de cabeza.

Si te costó, está explicado en: 2.5 Función cuadrática: vértice e imagen · 2.6 Ceros, positividad y negatividad de la cuadrática · 2.4 Intersección de rectas y comparación

Ejercicio 3 — El polinomio de grado 4 20 puntos

Sea P(x) = x⁴ − 3x³ − 3x² + 11x − 6. Se sabe que P(1) = 0. Factorizar P, estudiar su signo y responder qué se puede afirmar a partir de los valores de P en dos puntos.

a) Dividir P por (x − 1) con Ruffini y escribir el cociente que queda.
b) Hallar todos los ceros de P.
c) ¿Cuál es la multiplicidad del cero x = 1?
d) Dar el conjunto de positividad de P.
e) Se calcula P(0) = −6 y P(2) = −4: los dos negativos. ¿Qué se puede afirmar sobre los ceros de P en el intervalo (0, 2)?

Resolución

a) Como P(1) = 0, el teorema del resto asegura que (x − 1) divide a P y que el resto va a dar 0. Ruffini con los coeficientes completos y ordenados 1, −3, −3, 11, −6 y la raíz 1:

    |  1   −3   −3   11   −6
1 |        1   −2   −5    6
─────────────────────
       1   −2   −5    6    0

Cociente: x³ − 2x² − 5x + 6 · resto: 0 ✔

Que el último número dé 0 no es un detalle decorativo: es el control de que la división salió bien. Si no da 0, hay un error de cuenta o el valor no era raíz.

b) Ahora hay que seguir con el cociente. Las raíces enteras candidatas son los divisores del término independiente 6: ±1, ±2, ±3, ±6. Probando x = 3: 27 − 18 − 15 + 6 = 0 ✔. Ruffini otra vez, o directamente factoreando por agrupación:

x³ − 2x² − 5x + 6 = (x − 1)(x² − x − 6) = (x − 1)(x − 3)(x + 2)

P(x) = (x − 1)²(x − 3)(x + 2) → ceros: x = −2, x = 1, x = 3

Control por otro lado, sin desarrollar todo: el producto de las raíces de un polinomio mónico de grado 4 es el término independiente, y (−2)·1·1·3 = −6 ✔. La suma tiene que ser 3, y −2 + 1 + 1 + 3 = 3 ✔

c) El factor (x − 1) aparece dos veces: una de la primera división y otra de la factorización del cociente. La multiplicidad de x = 1 es 2.

d) Y acá la multiplicidad hace todo el trabajo. Como (x − 1)² es un cuadrado, nunca es negativo: no aporta signo salvo anularse en x = 1. Entonces el signo de P es el de (x − 3)(x + 2):

x < −2  →  (+)·(−)·(−) = +
−2 < x < 1  →  (+)·(−)·(+) = −
1 < x < 3  →  (+)·(−)·(+) = −
x > 3  →  (+)·(+)·(+) = +

C⁺ = (−∞, −2) ∪ (3, +∞) · C⁻ = (−2, 1) ∪ (1, 3)

En x = 1 el signo NO cambia, y por eso el cuadro tiene dos tramos negativos pegados en vez de uno. Esa es la regla completa: en un cero de multiplicidad impar el gráfico cruza el eje y el signo cambia; en uno de multiplicidad par lo toca y vuelve, y el signo se mantiene.

Ojo con C⁻: se escribe (−2, 1) ∪ (1, 3) y no (−2, 3), porque en x = 1 el polinomio vale 0 y el 0 no es negativo. Sacar ese punto de la unión es lo que separa la respuesta completa de la que pierde la mitad del ítem.

Control: P(−3) = 81 + 81 − 27 − 33 − 6 = 96 > 0 ✔, P(0) = −6 < 0 ✔, P(2) = −4 < 0 ✔, P(4) = 256 − 192 − 48 + 44 − 6 = 54 > 0 ✔

e) No se puede afirmar nada, y además la tentación de afirmar que no hay ceros es falsa: acabamos de ver que x = 1 es cero de P, y el 1 está adentro de (0, 2).

El teorema de Bolzano dice: si f es continua en [a, b] y f(a) y f(b) tienen signos distintos, entonces hay al menos un cero adentro. Es una implicación en un solo sentido. Cuando los signos coinciden el teorema simplemente no opina: puede no haber ningún cero, puede haber dos, o —como acá— puede haber uno de multiplicidad par, donde el gráfico toca el eje y se vuelve sin cruzarlo.

Es el error conceptual más caro de la unidad, porque se siente razonable: si el teorema garantiza un cero cuando hay cambio de signo, parece que garantizara que no hay cero cuando no lo hay. No. De «si A entonces B» no se deduce «si no A entonces no B».

Y al revés también falla el recíproco ingenuo: que haya un cero no obliga a que haya cambio de signo, justamente por las multiplicidades pares. Bolzano da una condición suficiente para que haya raíz, nunca una condición necesaria.

Si te costó, está explicado en: 2.8 Funciones polinómicas: ceros, multiplicidad y signo · 2.9 Continuidad y teorema de Bolzano

Ejercicio 4 — Componer y volver atrás 20 puntos

Sean f(x) = (x + 6)/(x + 2) y g(x) = x − 1, y sea h = f ∘ g. Hallar las dos composiciones, el dominio de h, la fórmula de la inversa de h y su cero.

a) Hallar (f ∘ g)(x) y darla simplificada como un solo cociente.
b) Dar el dominio de h = f ∘ g.
c) Hallar (g ∘ f)(x) y darla simplificada como un solo cociente.
d) Hallar la fórmula de la inversa de h.
e) ¿Cuál es el cero de la inversa de h?

Resolución

a) Componer f ∘ g es meter toda la fórmula de g adentro de cada x de f. No al revés:

(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x − 1) = ((x − 1) + 6)/((x − 1) + 2) = (x + 5)/(x + 1)

Control numérico, que es lo más rápido: g(0) = −1, f(−1) = 5/1 = 5; y la fórmula da (0 + 5)/(0 + 1) = 5 ✔. Otro: g(3) = 2, f(2) = 8/4 = 2; la fórmula da 8/4 = 2 ✔

b) Con la expresión ya simplificada, lo único que hay que pedir es que el denominador no se anule:

x + 1 ≠ 0 → Dom h = ℝ − {−1}

Conviene verificarlo por el otro lado, sin usar la fórmula final. Para que f(g(x)) exista hace falta que g(x) esté en el dominio de f, o sea que g(x) ≠ −2. Y g(x) = −2 pasa cuando x − 1 = −2, es decir x = −1. Coincide ✔

Ese control no es opcional en general: cuando la simplificación borra un factor, el dominio de la compuesta puede tener un agujero que la fórmula final ya no muestra. Acá no pasa, pero la costumbre de mirar de dónde salió la restricción es lo que evita perder el ítem cuando sí pasa.

c) Ahora al revés: se mete f adentro de g, que es «restar 1»:

(g ∘ f)(x) = f(x) − 1 = (x + 6)/(x + 2) − 1 = (x + 6 − (x + 2))/(x + 2) = 4/(x + 2)

Las x se cancelan y queda una homográfica con numerador constante. Fijate que (f ∘ g) y (g ∘ f) son funciones distintas: componer no es conmutativo, y confundirlas es el error clásico del tema.

d) Para invertir h(x) = (x + 5)/(x + 1) se escribe y = h(x), se despeja x y recién al final se intercambian los nombres:

y = (x + 5)/(x + 1)
y(x + 1) = x + 5
yx + y = x + 5
yx − x = 5 − y → x(y − 1) = 5 − y
x = (5 − y)/(y − 1)

h⁻¹(x) = (5 − x)/(x − 1), con Dom h⁻¹ = ℝ − {1}

El paso que se traba es el tercero: hay que juntar todas las x de un lado y sacarlas de factor común. Mientras queden x en los dos miembros no hay despeje posible.

Los dos controles que valen la pena, y que se hacen en veinte segundos:

1) Componer y ver que vuelve: h(0) = 5/1 = 5, y h⁻¹(5) = (5 − 5)/(5 − 1) = 0 ✔. Ida y vuelta al punto de partida.

2) Los dominios y las imágenes se dan vuelta. Dom h = ℝ − {−1} y la imagen de h es ℝ − {1}, porque y = 1 es su asíntota horizontal. Entonces Dom h⁻¹ = ℝ − {1} e Im h⁻¹ = ℝ − {−1} ✔ Si eso no cruza, hay un error en el despeje.

e) Un cero es donde la función vale 0, y una fracción vale 0 sólo cuando se anula el numerador:

5 − x = 0 → x = 5 (y 5 ≠ 1, así que está en el dominio ✔)

Hay un atajo que conviene tener a mano y que resuelve este ítem sin haber invertido nada: el cero de la inversa es la imagen del cero de la función original… al revés. Más preciso: h⁻¹(c) = 0 equivale a h(0) = c. Como h(0) = 5, el cero de h⁻¹ es 5 ✔ Es el mismo número, y sale de una sola cuenta.

Si te costó, está explicado en: 2.10 Composición de funciones · 2.11 Función inversa · 3.2 Composición e inversa con homográficas

Ejercicio 5 — Las dos asíntotas 20 puntos

Sea f(x) = (a·x + 8)/(2x + b), con a y b números reales. Se sabe que la recta de ecuación x = 3 es asíntota vertical de f y que x = −4 es un cero de f. Hallar a y b, y estudiar f para esos valores.

a) Hallar b.
b) Hallar a.
c) Dar el dominio de f.
d) Dar la ecuación de la asíntota horizontal de f.
e) Dar el conjunto de positividad de f.

Resolución

Lo primero es decidir qué condición toca qué letra, porque si se mezclan el ejercicio no arranca. La asíntota vertical vive en el denominador, así que sólo habla de b. El cero vive en el numerador, así que sólo habla de a. Son dos ecuaciones independientes, una por letra.

a) Que x = 3 sea asíntota vertical significa que el denominador se anula ahí:

2·3 + b = 0 → 6 + b = 0 → b = −6

b) Que x = −4 sea cero significa que el numerador se anula ahí:

a·(−4) + 8 = 0 → −4a = −8 → a = 2

f(x) = (2x + 8)/(2x − 6) = (x + 4)/(x − 3)

Control obligatorio antes de seguir: f(−4) = 0/(−7) = 0 ✔ y el denominador se anula en x = 3 ✔. Y un control extra que casi nadie hace y vale oro: el cero y la asíntota vertical no coinciden. Si hubieran coincidido, el factor se cancelaría, no habría asíntota sino un agujero, y el enunciado sería imposible.

c) El dominio es todo ℝ menos donde se anula el denominador:

2x − 6 = 0 → x = 3 → Dom f = ℝ − {3}

d) La asíntota horizontal sale del límite en el infinito. Con numerador y denominador del mismo grado, el límite es el cociente de los coeficientes principales:

lím_x→±∞ (2x + 8)/(2x − 6) = 2/2 = 1 → y = 1

Si querés verlo con la cuenta completa, se divide arriba y abajo por x: (2 + 8/x)/(2 − 6/x), y como 8/x y 6/x se van a cero, queda 2/2 = 1 ✔

Acá está la trampa del ejercicio. El reflejo es contestar «y = a», o sea y = 2, porque en la forma (ax + b)/(x + c) la asíntota horizontal sí vale a. Pero acá el denominador es 2x + b, no x + b: el coeficiente principal de abajo es 2 y la asíntota es 2/2 = 1.

Otro control que cierra el ítem: la imagen de una homográfica es ℝ menos el valor de la asíntota horizontal, o sea Im f = ℝ − {1}. Y de paso eso responde si el gráfico cruza su asíntota: resolver f(x) = 1 lleva a x + 4 = x − 3, es decir 4 = −3, que es absurdo. No la cruza nunca, que es lo que pasa siempre con las homográficas.

e) El cuadro de signos del cociente, con los dos bordes que ya tenemos: el cero en x = −4 y la asíntota en x = 3.

x < −4  →  (−)/(−) = +
−4 < x < 3  →  (+)/(−) = −
x > 3  →  (+)/(+) = +

C⁺ = (−∞, −4) ∪ (3, +∞) · C⁻ = (−4, 3)

Los dos bordes van con paréntesis, pero por motivos distintos: el −4 porque ahí f vale 0 y el 0 no es positivo, el 3 porque ahí f no existe. Control: f(−5) = (−1)/(−8) = 1/8 > 0 ✔, f(0) = 4/(−3) < 0 ✔, f(4) = 8/1 = 8 > 0 ✔

Y con esto queda descripto todo el gráfico: baja desde y = 1 por la izquierda, corta el eje x en −4, se despeña a −∞ al acercarse a 3 por izquierda, vuelve desde +∞ a la derecha de 3 y se acuesta contra y = 1 desde arriba.

Si te costó, está explicado en: 3.6 Hallar parámetros a partir de las asíntotas · 3.5 Asíntotas verticales · 3.4 Límite en el infinito y asíntotas horizontales · 3.1 Función homográfica: dominio, imagen y ceros

Leerlo resuelto no es lo mismo que rendirlo. Acá lo podés hacer entero sin que te corrija nada hasta entregarlo, igual que en el aula, y recién ahí te dice la nota, cómo se resolvía cada ejercicio y a qué temas te conviene volver.

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También está resuelto el segundo parcial de Matemática (51).

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