Matemática (51) · Unidad 2 — Funciones, rectas, parábolas y polinomios

Composición de funciones

Componer es encadenar dos máquinas: la salida de una entra en la otra. Y como el orden de la cadena importa, f∘g y g∘f casi nunca dan lo mismo: confundirlos es el error más caro del tema.

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La explicación

Para qué sirve esto

Casi ninguna función del curso es "simple": √(3x − 2) es una raíz aplicada a una recta, (x + 1)⁵ es una potencia aplicada a otra recta. Reconocer esa estructura es lo que después permite derivar con la regla de la cadena y lo que hace entendible la función inversa, que es justamente la que deshace la composición.

La definición

(f ∘ g)(x) = f( g(x) )

Se lee "f compuesta con g" y se calcula de adentro hacia afuera: primero actúa g, y su resultado entra en f. El truco para no equivocarse es leerlo de derecha a izquierda, que es el orden en que se ejecuta.

1. Escribí la fórmula de f, pero dejá el lugar de la x en blanco: f( □ ).
2. Meté toda la expresión de g adentro de cada □, con paréntesis.
3. Recién ahí desarrollá y simplificá.
4. Controlá con un número: calculá (f∘g)(2) por la fórmula nueva y por separado (primero g(2), después f de eso). Tienen que coincidir.

Los paréntesis del paso 2 no son opcionales. Si f(x) = x² y g(x) = x + 3, entonces (f∘g)(x) = (x + 3)², y eso no es x² + 9.

El orden importa

Con f(x) = 3x − 1 y g(x) = x² + 2:

(f ∘ g)(x) = 3(x² + 2) − 1 = 3x² + 5
(g ∘ f)(x) = (3x − 1)² + 2 = 9x² − 6x + 3

Son funciones distintas, y ni siquiera se parecen. La composición no es conmutativa, y eso no es una rareza: es la regla. Que en algún caso particular coincidan es la excepción, y cuando pasa suele ser porque una es la inversa de la otra.

Dominio de la compuesta

Para poder calcular f(g(x)) hacen falta dos permisos, no uno:

x ∈ Dom(f∘g) ⟺ x ∈ Dom g y g(x) ∈ Dom f

Si f(x) = √x y g(x) = x − 3, entonces (f∘g)(x) = √(x − 3), que existe sólo si x ≥ 3: g está definida en todo ℝ, pero su salida tiene que caer en el dominio de la raíz. Al revés, (g∘f)(x) = √x − 3 tiene dominio [0, +∞). Otra vez: el orden cambia todo, incluido el dominio.

Resolver (f∘g)(x) = b

Se arma primero la compuesta y después se resuelve como cualquier ecuación. Y ojo: si la compuesta es cuadrática, puede haber dos soluciones. Con (f∘g)(x) = 3x² + 5:

3x² + 5 = 17 ⟹ 3x² = 12 ⟹ x² = 4 ⟹ x = 2 o x = −2

El control que conviene hacer siempre

Elegí un número, por ejemplo x = 1. Calculá g(1), después f de ese resultado, y comparalo con lo que da tu fórmula de f∘g evaluada en 1. Si no coinciden, compusiste al revés o te comiste un paréntesis. Es un control de diez segundos que detecta los dos errores típicos del tema.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Sean f(x) = 3x - 1 y g(x) = x^2 + 2. Calcular (f o g)(x) y (g o f)(x), y resolver (f o g)(x) = 17.

Planteo: las dos compuestas se arman igual, cambiando quién va adentro. Conviene hacerlas por separado y controlarlas con un número antes de seguir.

(f ∘ g)(x) = f(g(x)). Primero actúa g, y su resultado entra en f, o sea en el lugar de la x de 3x − 1:

(f ∘ g)(x) = 3·(x² + 2) − 1 = 3x² + 6 − 1 = 3x² + 5

El paréntesis es clave: el 3 multiplica a todo lo que sale de g, no sólo al x².

(g ∘ f)(x) = g(f(x)). Ahora al revés: la salida de f entra en el lugar de la x de x² + 2:

(g ∘ f)(x) = (3x − 1)² + 2 = 9x² − 6x + 1 + 2 = 9x² − 6x + 3

Control numérico, que es lo que vale la pena hacer siempre. Con x = 2:

g(2) = 6, y f(6) = 17. Por fórmula: 3·4 + 5 = 17 ✔
f(2) = 5, y g(5) = 27. Por fórmula: 9·4 − 12 + 3 = 27 ✔

Y de paso se ve que 17 ≠ 27: las dos compuestas son distintas.

Resolver (f ∘ g)(x) = 17. Con la fórmula ya armada:

3x² + 5 = 17
3x² = 12 ⟹ x² = 4
x = 2 o x = −2

Control: con x = −2, g(−2) = 6 (igual que con 2, porque el cuadrado borra el signo) y f(6) = 17 ✔.

Dónde se pierde el punto: dar una sola solución. Cuando la compuesta queda cuadrática hay que revisar si hay dos, y acá las hay.

Y uno del nivel del parcial

Sean f(x) = x^2 - 4x y g(x) = x + 2. Calcular f o g y g o f, hallar los x donde las dos compuestas coinciden, y resolver (f o g)(x) = 0.

Planteo: primero las dos compuestas, con cuidado en los paréntesis. Después, "coinciden" significa igualar las dos fórmulas, igual que cuando se buscaba la intersección de dos gráficos.

La compuesta f ∘ g. Entra x + 2 en cada x de x² − 4x, que aparece dos veces:

(f∘g)(x) = (x + 2)² − 4(x + 2)
= x² + 4x + 4 − 4x − 8 = x² − 4

Fijate que los 4x se cancelaron. Si hubieras reemplazado en una sola de las dos apariciones de x, el resultado sería otro.

La compuesta g ∘ f. Ahora entra x² − 4x en el lugar de la x de x + 2:

(g∘f)(x) = (x² − 4x) + 2 = x² − 4x + 2

Control numérico con x = 1: g(1) = 3 y f(3) = 9 − 12 = −3; por fórmula, 1 − 4 = −3 ✔. Y f(1) = −3 con g(−3) = −1; por fórmula, 1 − 4 + 2 = −1 ✔. Distintas, como era de esperar.

Dónde coinciden. Se igualan las dos fórmulas:

x² − 4 = x² − 4x + 2

Los x² se cancelan, y lo que parecía cuadrático queda lineal:

−4 = −4x + 2 ⟹ 4x = 6 ⟹ x = 3/2 = 1,5

Control: (f∘g)(1,5) = 2,25 − 4 = −1,75 y (g∘f)(1,5) = 2,25 − 6 + 2 = −1,75 ✔. Coinciden en el punto (1,5 ; −1,75) y en ningún otro.

Resolver (f∘g)(x) = 0. Con la fórmula ya simplificada es inmediato:

x² − 4 = 0 ⟹ x = 2 o x = −2

Control por el camino largo, sin usar la fórmula compuesta: g(2) = 4 y f(4) = 16 − 16 = 0 ✔; g(−2) = 0 y f(0) = 0 ✔.

Dónde se pierde el punto: reemplazar en una sola de las dos apariciones de x al armar f∘g. Si la fórmula de f tiene la x tres veces, la expresión de g va en las tres.

Dónde se cae la mayoría

Componer al revés: calcular g(f(x)) cuando piden (f∘g)(x).
Reemplazar sin paréntesis y escribir (x + 3)² como x² + 9.
Sustituir sólo en una de las apariciones de x cuando la fórmula de f tiene varias.
Dar el dominio de la compuesta como el dominio de g, sin chequear que la salida de g caiga adentro del dominio de f.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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Dónde entra este tema en el parcial

Primer parcial — Componer y volver atrás20 puntos · resuelto paso a paso

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