Matemática (51) · Unidad 2 — Funciones, rectas, parábolas y polinomios

Funciones polinómicas: ceros, multiplicidad y signo

Un polinomio factorizado es un polinomio resuelto: cada factor grita su cero, y la multiplicidad de ese factor dice si el gráfico atraviesa el eje o apenas lo toca y rebota.

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La explicación

Para qué sirve esto

Los conjuntos de positividad de un polinomio son pregunta fija de parcial, y no se pueden sacar probando números sueltos: hay que factorizar. Factorizar también es lo que después permite simplificar cocientes, hallar dominios y entender los gráficos de grado alto.

Primero: factor común, siempre

Antes de cualquier otra cosa, mirá si todos los términos comparten algo. Si el polinomio no tiene término independiente, x es factor común y x = 0 es un cero:

x³ + 2x² − 3x = x(x² + 2x − 3) = x(x + 3)(x − 1)
ceros: 0, −3 y 1

Sacar la x baja el grado en uno y lo que queda suele ser una cuadrática, que se resuelve con lo que ya sabés. Es el atajo más rentable del tema.

Teorema del resto y regla de Ruffini

Cuando no hay factor común hay que buscar una raíz a mano. El teorema del resto dice:

el resto de dividir P(x) por (x − c) es exactamente P(c)

Y de ahí sale lo importante: si P(c) = 0, entonces (x − c) divide a P. O sea que evaluar es una forma barata de descubrir factores.

1. Probá con los divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3… Alguno suele anular al polinomio.
2. Cuando encontrás un c con P(c) = 0, dividí P por (x − c) con Ruffini: se bajan los coeficientes, se multiplica por c y se suma.
3. El cociente tiene un grado menos. Si quedó cuadrático, resolvente y listo; si no, repetí el procedimiento.
4. Controlá multiplicando todos los factores: tiene que volver a darte el polinomio original.

Multiplicidad: atraviesa o rebota

Si un factor aparece elevado a una potencia, esa potencia es la multiplicidad de ese cero, y decide el comportamiento del gráfico ahí:

multiplicidad impar (1, 3, …) → el gráfico atraviesa el eje: el signo cambia
multiplicidad par (2, 4, …) → el gráfico toca y rebota: el signo NO cambia

La razón es que un factor al cuadrado es siempre ≥ 0: no puede aportar ningún cambio de signo. En f(x) = (x + 1)²(x − 2), el −1 es doble y el gráfico rebota ahí, mientras que en el 2 atraviesa. Por eso f es negativa a los dos lados del −1.

El cuadro de signos

1. Factorizá completamente y anotá todos los ceros ordenados de menor a mayor.
2. Esos ceros parten la recta en intervalos. Armá una fila por intervalo.
3. Poné una columna por factor y anotá su signo en cada intervalo (evaluando un número cómodo de adentro).
4. El signo del producto es la regla de los signos aplicada a la fila: pares de negativos dan positivo.

Y un atajo para controlar: si todos los ceros son simples, los signos alternan de intervalo a intervalo. Si te dieron dos iguales seguidos y no había ninguna multiplicidad par, hay un error.

El control que conviene hacer siempre

Desarrollá la factorización y comparala con el polinomio original, aunque sea sólo el término independiente: el producto de todos los números sueltos de los factores, por el coeficiente principal, tiene que dar el término independiente. Y evaluá un valor de cada intervalo para chequear el cuadro de signos.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Sea f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x. Hallar todos los ceros y los conjuntos de positividad y de negatividad.

Planteo: no hay término independiente, así que lo primero es sacar x de factor común. Eso ya me regala un cero y me deja una cuadrática.

Factorizar.

x³ + 2x² − 3x = x(x² + 2x − 3)

Y la cuadrática se factoriza buscando dos números que sumen 2 y multipliquen −3: son 3 y −1.

f(x) = x(x + 3)(x − 1)
ceros: x = −3, x = 0, x = 1

Control: desarrollando, x(x² + 2x − 3) = x³ + 2x² − 3x ✔, que es el original. Los tres ceros son simples (cada factor aparece una sola vez), así que en los tres el gráfico atraviesa el eje y el signo cambia.

El cuadro de signos. Los ceros ordenados son −3, 0 y 1, y parten la recta en cuatro intervalos. Evalúo un número cómodo de cada uno:

f(−4) = −64 + 32 + 12 = −20 → negativa
f(−1) = −1 + 2 + 3 = 4 → positiva
f(0,5) = 0,125 + 0,5 − 1,5 = −0,875 → negativa
f(2) = 8 + 8 − 6 = 10 → positiva

Los signos alternan, que es exactamente lo que tenía que pasar con tres ceros simples ✔.

C⁺ = (−3, 0) ∪ (1, +∞)
C⁻ = (−∞, −3) ∪ (0, 1)

Dónde se pierde el punto: dividir los dos lados por x para "simplificar". Eso borra la solución x = 0 y el ejercicio queda con un cero de menos. Factor común sí, dividir no.

Y uno del nivel del parcial

Sea f(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6. Sabiendo que f(-1) = 0, factorizar f por Ruffini, hallar todos sus ceros y dar los conjuntos de positividad y de negatividad.

Planteo: acá no hay factor común y el polinomio es de grado 3. El dato f(−1) = 0 es la llave: por el teorema del resto, (x + 1) divide a f.

Control del dato, primero. f(−1) = −1 − 4 − 1 + 6 = 0 ✔. Conviene verificarlo antes de dividir: si el dato estuviera mal leído, todo Ruffini sale mal.

Ruffini por (x + 1), o sea con c = −1. Los coeficientes son 1, −4, 1, 6:

bajo el 1 · 1·(−1) = −1, y −4 + (−1) = −5
−5·(−1) = 5, y 1 + 5 = 6 · 6·(−1) = −6, y 6 + (−6) = 0

El último número es el resto y dio 0, como tenía que ser. El cociente es x² − 5x + 6.

Terminar de factorizar. x² − 5x + 6 se factoriza con dos números que sumen 5 y multipliquen 6: son 2 y 3.

f(x) = (x + 1)(x − 2)(x − 3)
ceros: −1, 2 y 3

Control multiplicando: (x + 1)(x² − 5x + 6) = x³ − 5x² + 6x + x² − 5x + 6 = x³ − 4x² + x + 6 ✔, el original.

Los signos. Los tres ceros son simples, así que los signos alternan. El coeficiente principal es positivo, así que a la derecha de todo la función es positiva, y desde ahí se alterna hacia la izquierda:

C⁺ = (−1, 2) ∪ (3, +∞)
C⁻ = (−∞, −1) ∪ (2, 3)

Control con números: f(0) = 6 > 0, y el 0 está en (−1, 2) ✔. f(2,5) = 15,625 − 25 + 2,5 + 6 = −0,875 < 0, y 2,5 está en (2, 3) ✔.

Dónde se pierde el punto: aplicar Ruffini con c = +1 cuando el factor es (x + 1). El c que se usa es el cero del factor, o sea el que lo anula, y acá es −1.

Dónde se cae la mayoría

Dividir por x en vez de sacarlo como factor común, y perder la raíz x = 0.
Dar el cero de (x + 3) como 3: el factor se anula en −3.
Suponer que el signo cambia en todos los ceros, sin mirar si alguno tiene multiplicidad par.
Armar el cuadro de signos sin haber factorizado del todo, con un factor cuadrático que todavía tenía ceros adentro.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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Dónde entra este tema en el parcial

Primer parcial — El polinomio de grado 420 puntos · resuelto paso a paso

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