Matemática (51) · Unidad 2 — Funciones, rectas, parábolas y polinomios

Hallar la cuadrática a partir de datos

Con los ceros o con el vértice ya tenés escrita la parábola salvo por un número: el a. Y ese a sale siempre del mismo lugar, de un punto extra que te dan para que la ecuación se cierre.

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La explicación

Para qué sirve esto

Es el ejercicio de parcial más típico de toda la unidad. El enunciado nunca te da la fórmula: te da el vértice, o los ceros, o la imagen y un intervalo de crecimiento, y vos tenés que reconstruirla. Y reconstruirla bien es lo que después permite contestar cualquier otra cosa que te pidan sobre ella.

La idea de fondo: tres incógnitas, tres datos

Una parábola ax² + bx + c tiene tres números por determinar, así que hacen falta tres datos. Pero los enunciados no te dan tres puntos sueltos: te dan información estructural (ceros, vértice, imagen) que ya vale por dos datos, más un punto suelto. Elegir la forma correcta convierte el problema en una sola ecuación con una sola incógnita.

Caso 1: te dan los ceros y un punto

1. Escribí la forma factorizada con los ceros: f(x) = a(x − x₁)(x − x₂). Ojo con los signos: si un cero es −3, el factor es (x + 3).
2. Reemplazá el punto extra (p, q): q = a(p − x₁)(p − x₂).
3. Despejá a. Es una ecuación de primer grado, siempre.
4. Escribí la respuesta y desarrollá si te la piden en forma polinómica.

Caso 2: te dan el vértice y un punto

1. Escribí la forma canónica: f(x) = a(x − x_v)² + y_v.
2. Reemplazá el punto extra y despejá a, igual que antes.
3. Verificá el signo de a contra el dibujo: si el punto extra está por encima del vértice, a tiene que dar positivo.

El vértice a veces viene disfrazado. "Su imagen es [−2, +∞)" te da y_v = −2 y además dice que a > 0. "El intervalo de crecimiento es (3, +∞)" te da x_v = 3 y también que a > 0. "El eje de simetría es x = 5" te da x_v = 5. Aprender a leer esos disfraces es la mitad del tema.

Caso 3: hay un parámetro y una condición

Acá la función viene casi escrita y falta una letra. El método es traducir la condición a una ecuación:

"el vértice tiene abscisa 2" → −b/(2a) = 2
"f(1) = g(1)" → se evalúan las dos y se igualan
"el vértice está sobre la recta y = 3x" → y_v = 3·x_v

Una vez hallado el parámetro, volvé a escribir la función completa antes de seguir: casi siempre el ejercicio pide algo más después, y con el parámetro todavía puesto no se puede avanzar.

El control que conviene hacer siempre

Reemplazá en tu fórmula final todos los datos del enunciado, uno por uno. Si te dieron los ceros, tienen que anularla; si te dieron el vértice, tiene que dar esa altura ahí; si te dieron un punto, tiene que pasar por él. Y desarrollá la forma factorizada o canónica para controlar que el a no se perdió por el camino.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Hallar la funcion cuadratica f cuyos ceros son 2 y -3 y cuyo grafico pasa por el punto (1, -8).

Planteo: me dan los ceros, así que arranco por la forma factorizada. El punto extra es el que va a determinar el a.

Paso 1: la forma factorizada. Los ceros son 2 y −3, así que los factores son (x − 2) y (x + 3):

f(x) = a(x − 2)(x + 3)

Cuidado con el segundo: el cero es −3, y el factor que se anula en −3 es (x + 3), no (x − 3).

Paso 2: usar el punto. Como f(1) = −8:

−8 = a(1 − 2)(1 + 3)
−8 = a·(−1)·4 = −4a
a = 2

Paso 3: la respuesta.

f(x) = 2(x − 2)(x + 3) = 2(x² + x − 6) = 2x² + 2x − 12

Control, dato por dato. f(2) = 8 + 4 − 12 = 0 ✔. f(−3) = 18 − 6 − 12 = 0 ✔. f(1) = 2 + 2 − 12 = −8 ✔. Los tres datos del enunciado se verifican, así que la función está bien.

Un control extra: el vértice tiene que estar en el punto medio de los ceros, (2 + (−3))/2 = −1/2, y por fórmula −b/(2a) = −2/4 = −1/2 ✔.

Dónde se pierde el punto: contestar f(x) = (x − 2)(x + 3) olvidándose del a. Esa función tiene los ceros correctos pero da f(1) = −4, no −8, así que no cumple el enunciado.

Y uno del nivel del parcial

Hallar la funcion cuadratica f sabiendo que el vertice de su grafico tiene abscisa -1, que Im f = [-3, +infinito) y que f(2) = 15. Dar despues la ecuacion de la recta que pasa por el vertice y por el punto P = (1, 5).

Planteo: hay que leer los disfraces. "Abscisa del vértice −1" da x_v = −1. "Im f = [−3, +∞)" da dos cosas: y_v = −3 y, como la imagen va hacia +∞, que a es positivo. Con el vértice completo voy a la canónica.

Paso 1: la canónica. V = (−1, −3), así que:

f(x) = a(x + 1)² − 3

El paréntesis lleva +1 porque el vértice está en −1: el signo se invierte.

Paso 2: el a, con el punto. f(2) = 15:

15 = a(2 + 1)² − 3
18 = 9a ⟹ a = 2

Da positivo, que es lo que anticipaba la imagen ✔. Si me hubiera dado negativo, habría un error en algún lado.

f(x) = 2(x + 1)² − 3 = 2x² + 4x − 1

Control: x_v = −4/(2·2) = −1 ✔, f(−1) = 2 − 4 − 1 = −3 ✔, f(2) = 8 + 8 − 1 = 15 ✔. Los tres datos.

Paso 3: la recta. Ahora es un ejercicio de rectas por dos puntos: V = (−1, −3) y P = (1, 5).

m = (5 − (−3)) / (1 − (−1)) = 8/2 = 4
5 = 4·1 + b ⟹ b = 1
y = 4x + 1

Control de la recta: en x = −1 da −4 + 1 = −3 ✔, que es la altura del vértice. Pasa por los dos puntos.

Dónde se pierde el punto: leer "Im f = [−3, +∞)" como si el −3 fuera la abscisa del vértice. La imagen se mide sobre el eje vertical: aporta la altura, y de yapa el signo de a.

Dónde se cae la mayoría

Escribir la factorizada sin el a adelante: (x − 2)(x + 3) tiene los ceros pedidos pero no pasa por el punto extra.
Poner (x − 3) cuando el cero es −3. El factor lleva el signo cambiado respecto del cero.
Confundir en la canónica el signo de x_v: si el vértice está en x = −1, el paréntesis es (x + 1).
Despejar el parámetro y no reescribir la función completa antes de contestar lo que sigue.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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