Matemática (51) · Unidad 2 — Funciones, rectas, parábolas y polinomios

Función inversa

La inversa es la función que deshace lo que hizo la original: si f te llevó de 2 a 7, f⁻¹ te trae de 7 a 2. Por eso dominio e imagen se intercambian, y por eso los dos gráficos son espejo respecto de la recta y = x.

Practicar este tema →7 ejercicios que te corrigen paso a paso · gratis, sin cuenta

La explicación

Para qué sirve esto

Invertir es despejar con método. Cada vez que convertís grados Fahrenheit a Celsius, o que pasás de un precio final a un precio sin impuesto, estás usando una función inversa. Y más adelante el logaritmo va a aparecer exactamente así: como la inversa de la exponencial.

Cuándo existe

Para poder volver, cada valor de salida tiene que venir de un solo valor de entrada. Si dos x distintos dan el mismo resultado, al querer volver no se sabe a cuál ir. Una función con esa propiedad se llama inyectiva.

f tiene inversa ⟺ f es inyectiva: x₁ ≠ x₂ ⟹ f(x₁) ≠ f(x₂)

El test visual: si una recta horizontal corta al gráfico en dos puntos, no es inyectiva. Toda función lineal con m ≠ 0 lo es. Ninguna cuadrática lo es en todo ℝ, porque el eje de simetría siempre le da dos x con la misma altura. Por eso las cuadráticas se invierten restringidas a un lado del vértice, y el enunciado siempre te aclara a cuál.

El método

1. Escribí y = f(x).
2. Despejá x en función de y. Este es el único paso que tiene trabajo real.
3. Intercambiá los nombres: donde quedó y, escribí x. Eso es f⁻¹(x).
4. Dom f⁻¹ = Im f · Im f⁻¹ = Dom f. Hay que darlos: son parte de la respuesta.

Un aviso de notación: f⁻¹ no es 1/f. El exponente −1 acá significa "la que deshace", no "elevado a menos uno".

Dominio e imagen se intercambian

Es la parte que más se olvida y la que más se toma. Si f: [0, +∞) → ℝ con f(x) = x² − 9, entonces Im f = [−9, +∞), y la inversa es:

y = x² − 9 ⟹ x² = y + 9 ⟹ x = √(y + 9)
f⁻¹(x) = √(x + 9), con Dom f⁻¹ = [−9, +∞)

Se toma la raíz positiva y no ±, porque el dominio de f era [0, +∞): la inversa tiene que devolver valores de ahí. Si el dominio hubiera sido (−∞, 0], la inversa sería −√(x + 9). El signo lo elige el dominio original, no el gusto.

La simetría respecto de y = x

Si (a, b) está en el gráfico de f, entonces (b, a) está en el de f⁻¹: las coordenadas se dan vuelta. Geométricamente, cada gráfico es el reflejo del otro en el espejo y = x. Eso da un control visual instantáneo: si dibujaste las dos y no son simétricas respecto de la diagonal, alguna está mal.

El control que conviene hacer siempre

El control definitivo es componer: si f⁻¹ está bien, entonces

f( f⁻¹(x) ) = x y f⁻¹( f(x) ) = x

Si al componer no te queda x pelada, hay un error en el despeje. Y si no querés hacerlo con letras, hacelo con un número: calculá f(5), y después meté ese resultado en f⁻¹. Tiene que volver a darte 5.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Sea f: R -> R, f(x) = 3x - 6. Hallar f inversa, dar su dominio y verificar el resultado.

Planteo: es una lineal con pendiente distinta de cero, así que es inyectiva y la inversa existe. Aplico el método paso por paso.

Paso 1: escribir y = f(x).

y = 3x − 6

Paso 2: despejar x. Es el único paso con trabajo: hay que deshacer las operaciones en orden inverso al que se aplicaron. Primero se sumó... no: primero se multiplicó por 3 y después se restó 6, así que para volver primero sumo 6 y después divido por 3.

y + 6 = 3x
x = (y + 6)/3

Paso 3: intercambiar los nombres.

f⁻¹(x) = (x + 6)/3 = x/3 + 2

Paso 4: dominio e imagen. Como f va de ℝ en ℝ y es sobreyectiva (una recta no horizontal alcanza todos los valores), Im f = ℝ, y entonces:

Dom f⁻¹ = ℝ · Im f⁻¹ = ℝ

Control componiendo. Es el que cierra el ejercicio:

f(f⁻¹(x)) = 3·(x/3 + 2) − 6 = x + 6 − 6 = x ✔
f⁻¹(f(x)) = (3x − 6 + 6)/3 = 3x/3 = x ✔

Control numérico, por si el algebraico se hizo largo: f(4) = 6, y f⁻¹(6) = 6/3 + 2 = 4 ✔. Volvió al número de partida.

Dónde se pierde el punto: dividir por 3 antes de sumar el 6, y contestar f⁻¹(x) = x/3 + 6. Las operaciones se deshacen en orden inverso al que se aplicaron.

Y uno del nivel del parcial

Sea f: [2, +infinito) -> R, f(x) = x^2 - 4x + 1. Hallar la imagen de f, hallar f inversa con su dominio, y verificar.

Planteo: es una cuadrática, así que en todo ℝ no sería inyectiva. Por eso el enunciado la restringe a [2, +∞). Lo primero es entender por qué justo ahí, y eso lo dice el vértice.

El vértice y la imagen. Completo cuadrados, que además me va a servir para invertir:

x² − 4x + 1 = (x² − 4x + 4) − 4 + 1 = (x − 2)² − 3
V = (2, −3)

El dominio [2, +∞) es exactamente la rama derecha, la que arranca en el vértice: ahí la función es creciente y por lo tanto inyectiva. Como a > 0 y arranca en el mínimo:

Im f = [−3, +∞)

Despejar x. Desde la forma canónica sale directo, sin resolvente:

y = (x − 2)² − 3
y + 3 = (x − 2)²
x − 2 = ±√(y + 3)

Elegir el signo. Acá está la decisión del ejercicio. El dominio de f es [2, +∞), así que la inversa tiene que devolver números mayores o iguales que 2. Con el signo −, x − 2 sería negativo y x quedaría menor que 2. Entonces va el +:

x = 2 + √(y + 3)
f⁻¹(x) = 2 + √(x + 3)

Dominio e imagen de la inversa, que son los de f dados vuelta:

Dom f⁻¹ = Im f = [−3, +∞)
Im f⁻¹ = Dom f = [2, +∞)

Y coincide con lo que pide la fórmula por sí sola: para que √(x + 3) exista hace falta x ≥ −3 ✔. Los dos caminos dan lo mismo, que es un buen control.

Control numérico. f(5) = 25 − 20 + 1 = 6, y f⁻¹(6) = 2 + √9 = 2 + 3 = 5 ✔. Volvió al 5.

Control algebraico. f(f⁻¹(x)) = (2 + √(x+3) − 2)² − 3 = (√(x+3))² − 3 = x + 3 − 3 = x ✔.

Dónde se pierde el punto: dejar el ± en la respuesta. Con el ±, eso ni siquiera es una función: a cada x le asignaría dos valores. El dominio restringido está en el enunciado justamente para que elijas uno.

Dónde se cae la mayoría

Confundir f⁻¹ con 1/f.
Dar la inversa de una cuadrática con ±, sin elegir el signo que corresponde al dominio restringido.
No dar el dominio de la inversa, que es la imagen de la original y casi siempre no es todo ℝ.
Intercambiar las letras antes de despejar, y despejar después la variable equivocada.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

Practicar Función inversa →

Dónde entra este tema en el parcial

Primer parcial — Componer y volver atrás20 puntos · resuelto paso a paso

Los otros temas de la unidad 2

Funciones, rectas, parábolas y polinomios

Ver todos los temas de Matemática (51)