Matemática (51) · Unidad 2 — Funciones, rectas, parábolas y polinomios
Ceros, positividad y negatividad de la cuadrática
Los conjuntos de positividad no se sacan probando números al azar: se sacan de los ceros y de hacia dónde abre la parábola. Con esos dos datos el gráfico ya está decidido, y el signo se lee del dibujo.
La explicación
Para qué sirve esto
Saber dónde una función es positiva o negativa es lo que después permite resolver inecuaciones, estudiar dominios con raíces y armar cuadros de signos de productos. Y es una de las preguntas más frecuentes del parcial, casi siempre pidiendo la respuesta escrita como intervalo.
Los ceros: la resolvente
Lo que está adentro de la raíz se llama discriminante y decide cuántos ceros hay antes de que termines la cuenta:
Δ > 0 → dos ceros distintos
Δ = 0 → un cero (la parábola apoya el vértice en el eje)
Δ < 0 → ningún cero real (la parábola no toca el eje)
2. Calculá Δ = b² − 4ac. Ojo: b² siempre da positivo, aunque b sea negativo.
3. Si Δ ≥ 0, aplicá la resolvente. Si Δ < 0, cortá acá: no hay ceros reales.
4. Controlá: la suma de los ceros tiene que dar −b/a y el producto c/a.
Antes de ir a la resolvente conviene mirar si hay un atajo: si falta el término independiente (3x² − 9x) se saca factor común; si falta el término lineal (x² − 16) se despeja directo. La resolvente es para cuando no hay atajo.
El signo se lee del gráfico
Una vez que tenés los ceros y el signo de a, el dibujo está determinado y el signo sale sin ninguna cuenta más:
a < 0 con dos ceros → positiva entre los ceros, negativa afuera
La razón es simple: la parábola cruza el eje solo en los ceros, así que entre dos cruces consecutivos no puede cambiar de signo. Y los intervalos siempre van abiertos, porque en los ceros la función no es ni positiva ni negativa: vale cero.
Los casos de Δ ≤ 0, que son los que se olvidan
- Δ = 0: hay un solo cero, la parábola apoya y rebota. Con a > 0 la función es positiva en todos lados salvo en ese punto: C⁺ = ℝ − {x1} y C⁻ = ∅.
- Δ < 0: no cruza nunca. Con a > 0 es positiva en todo ℝ; con a < 0 es negativa en todo ℝ. Uno de los dos conjuntos es ℝ entero y el otro es vacío.
Intersecar con una recta o con otra parábola
2. Pasá todo a un lado, de modo que quede "algo = 0".
3. Si quedó una cuadrática, resolvente. Si los términos cuadráticos se cancelaron, quedó una ecuación lineal y hay un solo punto: eso pasa cuando las dos parábolas tienen el mismo a.
4. Para cada x hallado, calculá la altura reemplazando en la más fácil de las dos, y dá los puntos como pares ordenados.
Que no haya solución también es una respuesta válida: significa que los gráficos no se cortan.
El control que conviene hacer siempre
Con los ceros en la mano, elegí un número de cada intervalo y evaluá f. Los signos que te den tienen que coincidir con lo que escribiste, y además tienen que alternar al pasar por cada cero simple. Si dos intervalos consecutivos te dan el mismo signo, hay un cero mal.
Sea f(x) = 3x^2 - 5x - 2. Hallar los ceros y los conjuntos de positividad y de negatividad.
Planteo: no falta ningún término, así que no hay atajo: va la resolvente. Después el signo sale del gráfico, sin probar números al azar.
El discriminante. a = 3, b = −5, c = −2:
Fijate el doble cuidado: (−5)² da +25, y −4·3·(−2) da +24 porque hay dos negativos. Como Δ > 0, hay dos ceros distintos.
Los ceros.
x1 = 12/6 = 2 · x2 = −2/6 = −1/3
Control rápido: la suma tiene que dar −b/a = 5/3, y 2 + (−1/3) = 5/3 ✔. El producto tiene que dar c/a = −2/3, y 2·(−1/3) = −2/3 ✔.
Los conjuntos de signo. Como a = 3 > 0, la parábola abre hacia arriba: baja, cruza el eje en −1/3, hace el vértice abajo y vuelve a cruzar en 2.
C⁻ = (−1/3, 2)
Todos los intervalos van abiertos: en −1/3 y en 2 la función no es positiva ni negativa, vale exactamente cero.
Control con números: f(0) = −2, negativo, y 0 está entre los ceros ✔. f(3) = 27 − 15 − 2 = 10, positivo, y 3 está a la derecha ✔.
Dónde se pierde el punto: escribir C⁺ como un solo intervalo. Con dos ceros y a > 0, la positividad son dos pedazos y hay que unirlos con ∪.
Sean f(x) = -2x^2 + 6x + 8 y g(x) = 2x + 8. Hallar los ceros de f, sus conjuntos de positividad y negatividad, y los puntos donde se cortan los graficos de f y g.
Planteo: dos partes independientes. Para la primera, los ceros de f y el signo de a. Para la segunda, igualar f con g.
Los ceros de f. Conviene sacar el −2 de factor común antes de nada, porque simplifica la cuenta:
ceros: x = 4 y x = −1
Control con la resolvente: Δ = 36 − 4·(−2)·8 = 36 + 64 = 100, y x = (−6 ± 10)/(−4), que da −1 y 4 ✔. Y otro control: −2(x − 4)(x + 1) desarrollado da −2(x² − 3x − 4) = −2x² + 6x + 8 ✔.
El signo. Acá a = −2 < 0: la parábola abre hacia abajo, así que es positiva en el medio y negativa afuera.
C⁻ = (−∞, −1) ∪ (4, +∞)
Es exactamente al revés que con a positivo. Control: f(0) = 8 > 0, y el 0 está entre los ceros ✔.
La intersección con g. Se igualan y se pasa todo de un lado:
−2x² + 4x = 0
−2x(x − 2) = 0 ⟹ x = 0 y x = 2
Acá el 8 se canceló solo y quedó una cuadrática sin término independiente: factor común, no resolvente. Las alturas salen de la recta, que es más fácil de evaluar:
Se cortan en (0, 8) y en (2, 12)
Control: f(0) = 8 ✔ y f(2) = −8 + 12 + 8 = 12 ✔. Los dos puntos están sobre las dos curvas.
Dónde se pierde el punto: tirar la resolvente sobre −2x² + 4x = 0 en vez de sacar factor común, y en el apuro perder la solución x = 0. Cuando falta el término independiente, un cero siempre es el 0.
Dónde se cae la mayoría
- Calcular Δ como b² + 4ac o tomar b² negativo cuando b es negativo.
- Escribir los conjuntos de positividad con corchetes: en los ceros la función vale cero, así que van abiertos.
- Dar el conjunto de positividad "entre los ceros" sin mirar el signo de a: con a positivo es justamente al revés.
- Al intersecar dos parábolas con el mismo a, aplicar la resolvente a lo que ya quedó lineal.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Ceros, positividad y negatividad de la cuadrática →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — La parábola y la recta20 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 2
Funciones, rectas, parábolas y polinomios
- 2.1 Qué es una función: dominio, imagen y gráfico
- 2.2 Función lineal: pendiente y ordenada al origen
- 2.3 Hallar la recta a partir de datos
- 2.4 Intersección de rectas y comparación
- 2.5 Función cuadrática: vértice e imagen
- 2.7 Hallar la cuadrática a partir de datos
- 2.8 Funciones polinómicas: ceros, multiplicidad y signo
- 2.9 Continuidad y teorema de Bolzano
- 2.10 Composición de funciones
- 2.11 Función inversa