Matemática (51) · Unidad 2 — Funciones, rectas, parábolas y polinomios
Intersección de rectas y comparación
Igualar dos funciones responde dónde valen lo mismo; cambiar ese igual por un mayor responde dónde una le gana a la otra. Es la misma cuenta, y la única diferencia es que la desigualdad se da vuelta si dividís por un negativo.
La explicación
Para qué sirve esto
"¿A partir de cuántos minutos me conviene el otro plan?" y "¿para qué x es f(x) > g(x)?" son la misma pregunta. Y en los parciales aparece casi siempre con este formato: te dan una recta, te hacen construir la otra, y te piden el conjunto donde una supera a la otra, escrito como intervalo.
El punto de intersección
Los dos gráficos se cortan donde tienen la misma altura sobre el mismo x. Entonces:
2. Juntar las x de un lado y los números del otro, y despejar x.
3. Reemplazar ese x en cualquiera de las dos para obtener la altura y.
4. Dar la respuesta como par ordenado (x, y), no sólo el x.
Los tres casos posibles
Al igualar dos rectas siempre pasa una de tres cosas, y conviene reconocerlas por cómo queda la ecuación:
misma pendiente, distinta ordenada → queda algo tipo 3 = 5: ningún punto
misma pendiente y misma ordenada → queda 0 = 0: son la misma recta, infinitos puntos
Que las x se cancelen no es un error de cuenta: es información. Si queda una igualdad falsa, las rectas son paralelas; si queda una verdadera, son la misma.
Comparar: f(x) > g(x)
Se resuelve igual que la ecuación, pero con la desigualdad puesta:
2. Despejá x. Si en el último paso dividís (o multiplicás) por un número negativo, da vuelta el signo de la desigualdad.
3. Escribí el resultado como intervalo.
4. Controlá con un número de adentro y otro de afuera: reemplazá en las dos funciones y fijate si la desigualdad se cumple.
Hay un atajo visual que evita el error de signo: el punto de intersección parte la recta en dos tramos, y en uno gana f y en el otro gana g. Alcanza con calcular la intersección y después probar un solo valor de cada lado para saber cuál es cuál. Y ojo con el tipo de desigualdad: si es ≥, el punto de intersección entra y el intervalo va con corchete.
Problemas aplicados
El esquema es siempre el mismo: una parte fija (la ordenada) y una parte que depende de la cantidad (la pendiente).
La intersección es el punto de equilibrio, donde da lo mismo elegir cualquiera de los dos. Y la conversión entre escalas de temperatura es otro caso: F = 1,8·C + 32 es una función lineal, con pendiente 1,8 y ordenada 32.
El control que conviene hacer siempre
Después de escribir el intervalo, elegí un número de adentro y evaluá las dos funciones: la desigualdad tiene que cumplirse. Después elegí uno de afuera: tiene que fallar. Dos cuentas de diez segundos que detectan el 90 % de los errores de este tema.
Sean f(x) = x + 4 y g(x) = 3x - 2. Hallar el punto donde se cortan sus graficos y escribir como intervalo el conjunto A = {x en R / f(x) > g(x)}.
Planteo: el punto de corte sale de igualar; el conjunto A sale de la misma cuenta con > en lugar de =. Conviene hacer primero la igualdad, porque ese valor es la frontera de A.
El punto de intersección.
4 + 2 = 3x − x
6 = 2x ⟹ x = 3
La altura sale reemplazando: f(3) = 3 + 4 = 7. Control con la otra: g(3) = 9 − 2 = 7 ✔.
El conjunto A. Ahora con la desigualdad:
6 > 2x
3 > x ⟺ x < 3
Acá dividí por 2, que es positivo, así que no hubo que dar vuelta nada. El único cuidado es leer bien "3 > x", que significa que x es menor que 3, no mayor.
El 3 queda afuera porque ahí las dos valen lo mismo, y la desigualdad pedida es estricta.
Control: probamos x = 0, que está adentro: f(0) = 4 y g(0) = −2, y efectivamente 4 > −2 ✔. Probamos x = 5, que está afuera: f(5) = 9 y g(5) = 13, y 9 > 13 es falso ✔.
Dónde se pierde el punto: leer "3 > x" como x > 3 y escribir el intervalo al revés. El control con un número de cada lado lo detecta enseguida.
Una imprenta cobra un cargo fijo de 4000 pesos mas 250 pesos por copia. Otra no cobra cargo fijo pero cobra 350 pesos por copia. Decidir a partir de cuantas copias conviene la primera, y cuanto se paga en el punto de equilibrio.
Planteo: hay que escribir las dos funciones de costo y compararlas. Lo primero es decidir qué representa la variable: acá x es la cantidad de copias.
Las dos funciones. El cargo fijo es la ordenada al origen y el precio por copia es la pendiente:
C2(x) = 350x
El punto de equilibrio. Se igualan los costos:
4000 = 100x ⟹ x = 40
Con 40 copias las dos cobran lo mismo. Cuánto: C1(40) = 4000 + 10.000 = 14.000. Control con la otra: C2(40) = 350·40 = 14.000 ✔.
Cuándo conviene la primera. "Conviene" es "cuesta menos", así que hay que resolver C1(x) < C2(x):
4000 < 100x
40 < x ⟺ x > 40
Así que a partir de 41 copias conviene la primera. Fijate el detalle: la desigualdad da x > 40, pero como las copias se cuentan de a una, la primera cantidad entera que sirve es 41.
Control con números concretos. Con 10 copias: C1 = 6500 y C2 = 3500, gana la segunda ✔ (10 < 40). Con 100 copias: C1 = 29.000 y C2 = 35.000, gana la primera ✔ (100 > 40).
Dónde se pierde el punto: contestar "40" a la pregunta de a partir de cuántas conviene. En 40 no conviene ninguna: salen igual. Y también, no interpretar el resultado: un x no es una respuesta hasta que decís qué significa.
Dónde se cae la mayoría
- No dar vuelta la desigualdad al dividir por un coeficiente negativo.
- Contestar el punto de intersección con sólo el valor de x, sin calcular la altura.
- Concluir que no hay solución cuando las x se cancelan, sin mirar si lo que quedó es verdadero (misma recta) o falso (paralelas).
- Poner corchete o paréntesis al azar en el extremo del intervalo, sin fijarse si la desigualdad del enunciado era estricta.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Intersección de rectas y comparación →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — La parábola y la recta20 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 2
Funciones, rectas, parábolas y polinomios
- 2.1 Qué es una función: dominio, imagen y gráfico
- 2.2 Función lineal: pendiente y ordenada al origen
- 2.3 Hallar la recta a partir de datos
- 2.5 Función cuadrática: vértice e imagen
- 2.6 Ceros, positividad y negatividad de la cuadrática
- 2.7 Hallar la cuadrática a partir de datos
- 2.8 Funciones polinómicas: ceros, multiplicidad y signo
- 2.9 Continuidad y teorema de Bolzano
- 2.10 Composición de funciones
- 2.11 Función inversa