Matemática (51) · Unidad 2 — Funciones, rectas, parábolas y polinomios
Continuidad y teorema de Bolzano
Si una función continua pasa de negativa a positiva, en algún lado tuvo que valer cero: no puede saltar el eje sin tocarlo. Bolzano no te dice dónde está la raíz, pero te garantiza que existe, y eso alcanza para ir a buscarla partiendo el intervalo al medio.
La explicación
Para qué sirve esto
Hay ecuaciones que no se saben despejar: x³ + 2x = 5 no tiene una fórmula como la resolvente. Bolzano permite demostrar que la solución existe y después acorralarla con la precisión que haga falta, con una cuenta que sabe hacer cualquiera.
Qué es una función continua, sin epsilons
Intuitivamente: su gráfico se dibuja sin levantar el lápiz. No tiene saltos, ni agujeros, ni ramas que se van al infinito en el medio. Para esta materia alcanza con saber quiénes lo son:
- Los polinomios son continuos en todo ℝ. Siempre, sin excepción.
- Las funciones racionales (cociente de polinomios) son continuas en todo su dominio, pero se cortan donde el denominador se anula.
- Las raíces son continuas en todo su dominio.
El teorema de Bolzano
entonces existe al menos un c ∈ (a, b) con f(c) = 0.
Dicho corto: para pasar de abajo del eje a arriba, una función sin saltos tiene que cruzarlo.
Qué NO dice Bolzano
Acá es donde se pierden los puntos, y son tres cosas distintas:
- No dice cuántas raíces hay. Da existencia, no unicidad: puede haber una, tres, o infinitas. Sólo garantiza al menos una.
- No dice dónde está. El teorema no la ubica; ubicarla es el trabajo de la bisección.
- No vale al revés. Que f(a) y f(b) tengan el mismo signo no significa que no haya raíces. Puede haber dos, o cuatro: un número par de cruces devuelve la función al mismo lado.
Y la hipótesis de continuidad es indispensable, no un adorno. El contraejemplo clásico es f(x) = 1/x en [−1, 1]: f(−1) = −1 y f(1) = 1, signos distintos, y sin embargo no hay ningún c con f(c) = 0. Falla porque f no es continua en 0: ahí ni siquiera está definida.
Aproximar la raíz: bisección
2. Calculá el punto medio m = (a + b)/2 y evaluá f(m).
3. Mirá con cuál de los dos extremos cambia de signo y quedate con esa mitad. Si f(m) tiene el signo de f(a), la raíz está en (m, b); si tiene el signo de f(b), está en (a, m).
4. Repetí. Cada paso parte el intervalo al medio, así que después de n pasos su longitud es (b − a)/2n.
si tomás el punto medio como aproximación, el error es menor que la mitad de eso
Por eso conviene distinguir las dos preguntas: "encajonar la raíz en un intervalo de longitud L" y "aproximarla con error menor que L" no son lo mismo, y la segunda necesita un paso menos.
Leer los ceros de un gráfico o de una tabla
Con una tabla de valores alcanza para ubicar raíces: cada cambio de signo entre dos valores consecutivos encierra al menos un cero. Si la tabla dice f(2) = 1 y f(3) = −4, hay una raíz en (2, 3). Y si además el enunciado te dice cuántos ceros tiene en total, podés afirmar que en ese intervalo hay exactamente uno.
El control que conviene hacer siempre
En cada paso de bisección, chequeá que los extremos que te quedaron sigan teniendo signos distintos. Si en algún momento los dos te dan el mismo signo, te quedaste con la mitad equivocada y toda la cuenta de ahí en adelante no vale nada.
Sea f(x) = x^3 + 2x - 5. Probar que f tiene un cero en el intervalo (1, 2) y aproximarlo con dos pasos de biseccion.
Planteo: primero hay que justificar que la raíz existe (eso es Bolzano) y recién después buscarla. Los dos pasos no se pueden invertir.
Que existe. f es un polinomio, así que es continua en todo ℝ y en particular en [1, 2]. Evalúo en los extremos:
f(2) = 8 + 4 − 5 = 7 (positivo)
Continua y con signos distintos en los extremos: por Bolzano hay al menos un c ∈ (1, 2) con f(c) = 0.
Primer paso de bisección. El punto medio es 1,5:
Como f(1,5) es positivo igual que f(2), el cambio de signo quedó del otro lado: la raíz está en (1 ; 1,5).
Segundo paso. El punto medio de (1 ; 1,5) es 1,25:
Ahora el negativo es f(1,25) y el positivo f(1,5), así que la raíz está en (1,25 ; 1,5), un intervalo de longitud 0,25.
Control: en cada paso los dos extremos que quedaron tienen signos distintos ✔ (−2 y 1,375 en el primero; −0,547 y 1,375 en el segundo). Si en algún momento los dos dieran el mismo signo, me quedé con la mitad equivocada.
Dónde se pierde el punto: saltearse la frase de la continuidad. Bolzano tiene dos hipótesis, y la justificación sin la primera está incompleta aunque la cuenta esté bien.
Sea f una funcion continua en todo R que corta al eje x en exactamente tres puntos, y de la que se conoce esta tabla: f(-2) = 3, f(-1) = -1, f(0) = 2, f(1) = 4, f(2) = -2. Indicar para cada cero un intervalo de longitud 1 que lo contenga, y determinar, si es posible, el signo de f en (-1, 0) y en (0, 1).
Planteo: no hay fórmula, sólo una tabla. Todo sale de buscar cambios de signo entre valores consecutivos, y después usar el dato de que los ceros son exactamente tres.
Los cambios de signo. Recorro la tabla de a pares:
f(−1) = −1 < 0 y f(0) = 2 > 0 → cambia: hay un cero en (−1, 0)
f(0) = 2 > 0 y f(1) = 4 > 0 → no cambia
f(1) = 4 > 0 y f(2) = −2 < 0 → cambia: hay un cero en (1, 2)
Encontré tres intervalos de longitud 1, y como f es continua, en cada uno Bolzano garantiza al menos un cero. Serían al menos tres ceros.
Acá entra el dato del enunciado. Como f tiene exactamente tres ceros y ya ubiqué tres intervalos disjuntos que contienen al menos uno cada uno, en cada uno hay exactamente uno. Y además: fuera de esos tres intervalos no hay ningún cero más. Ese razonamiento es el corazón del ejercicio.
El signo en (−1, 0). Adentro de ese intervalo hay un cero, así que la función cambia de signo ahí adentro: no se puede determinar un único signo para todo el intervalo.
El signo en (0, 1). Distinto: ahí no hay ningún cero (ya usé los tres). Como f es continua y no se anula en (0, 1), no puede cambiar de signo sin cruzar el eje. Y f(0) = 2 > 0, así que f es positiva en todo (0, 1).
Control: el argumento del signo constante usa las dos hipótesis, continuidad y ausencia de ceros. Si faltara cualquiera de las dos, la conclusión se cae.
Dónde se pierde el punto: decir que en (0, 1) el signo "no se puede determinar" porque no hay cambio en la tabla. Justamente al revés: que no haya cambio, sumado a que los tres ceros ya están ubicados en otro lado, es lo que permite afirmar el signo.
Dónde se cae la mayoría
- Aplicar Bolzano sin verificar la continuidad, cuando la función tiene un denominador que se anula adentro del intervalo.
- Concluir que la raíz es única porque Bolzano la encontró: el teorema da existencia, nunca unicidad.
- Concluir que no hay raíces porque f(a) y f(b) tienen el mismo signo.
- En la bisección, quedarse con la mitad donde los dos extremos tienen el mismo signo.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Continuidad y teorema de Bolzano →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — El polinomio de grado 420 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 2
Funciones, rectas, parábolas y polinomios
- 2.1 Qué es una función: dominio, imagen y gráfico
- 2.2 Función lineal: pendiente y ordenada al origen
- 2.3 Hallar la recta a partir de datos
- 2.4 Intersección de rectas y comparación
- 2.5 Función cuadrática: vértice e imagen
- 2.6 Ceros, positividad y negatividad de la cuadrática
- 2.7 Hallar la cuadrática a partir de datos
- 2.8 Funciones polinómicas: ceros, multiplicidad y signo
- 2.10 Composición de funciones
- 2.11 Función inversa