Matemática (51) · Unidad 2 — Funciones, rectas, parábolas y polinomios

Hallar la recta a partir de datos

Una recta queda determinada por exactamente dos datos independientes, y siempre son los mismos dos: la pendiente y un punto por donde pasa. Todo el tema es reconocer, en cada enunciado, dónde están escondidos esos dos.

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La explicación

Para qué sirve esto

Los ejercicios casi nunca te dan la fórmula: te dan dos puntos, o un valor y una condición de paralelismo, o un gráfico. El trabajo es traducir eso a y = mx + b. Y como en los parciales la recta suele ser un paso intermedio de otra cosa (una intersección, un conjunto, una distancia), si esta traducción falla, falla todo lo que venga después.

La única receta que hace falta

Cualquiera sea el enunciado, el orden es siempre el mismo:

1. Conseguir la pendiente m. Te la dan directo, o sale de dos puntos, o sale de una condición de paralela o perpendicular.
2. Conseguir un punto (x₀, y₀) por el que pase.
3. Escribir y = mx + b, reemplazar el punto y despejar b.
4. Controlar: evaluar la fórmula final en los datos originales y ver que dan lo que tienen que dar.

Existe también la forma punto-pendiente, que ahorra el despeje:

y − y₀ = m (x − x₀)

Después se distribuye y se ordena. Las dos formas dan lo mismo; usá la que te salga sin equivocarte.

Los cuatro enunciados típicos

Dos puntos. m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁), y después usás cualquiera de los dos como punto. Si los dos x son iguales, la "recta" es vertical y no es función.
Un punto y la pendiente. Ya tenés los dos datos: directo al paso 3.
Un punto y una paralela o perpendicular a otra recta. La condición te da la pendiente: igual para la paralela, −1/m para la perpendicular. El punto te lo dan aparte.
Un gráfico. Buscá dos puntos donde la recta pase por un cruce limpio de la cuadrícula y calculá Δy/Δx entre ellos. La ordenada se lee donde corta el eje y.

Un caso que confunde: "f(1) = 0 y f(2) = 5" es el caso de dos puntos, escrito con otra notación. Los puntos son (1, 0) y (2, 5).

Cuando hay un parámetro

A veces la recta viene con una letra adentro —f(x) = mx + 5, o f(x) = (k−1)x + 4— y te dan una condición para determinarla. El método no cambia: traducís la condición a una ecuación con esa letra y despejás.

f(2) = −3 se traduce en m·2 + 5 = −3

El error acá no es algebraico sino de lectura: f(2) = −3 significa que el 2 va en el lugar de x y el −3 es el resultado. Nunca al revés.

El control que conviene hacer siempre

Reemplazá en tu fórmula final los dos datos del enunciado, no uno. Si usaste el punto A para despejar b, es obvio que A va a verificar; el que realmente controla es el otro. Y si el dato era una pendiente, verificá que el número que multiplica a x sea ese.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Hallar la funcion lineal f cuyo grafico pasa por los puntos A = (-2, 7) y B = (4, -5).

Planteo: dos puntos alcanzan para determinar una recta. Primero la pendiente, después la ordenada.

Paso 1: la pendiente. Se restan las alturas arriba y las x abajo, en el mismo orden:

m = (−5 − 7) / (4 − (−2)) = (−12) / 6 = −2

Fijate el denominador: 4 − (−2) es 4 + 2 = 6, no 2. Restar un negativo suma, y ahí se pierde la mitad de los puntos de este ejercicio.

Paso 2: la ordenada al origen. Sabemos que f(x) = −2x + b y que el gráfico pasa por B = (4, −5), así que:

−5 = −2·4 + b
−5 = −8 + b
b = 3

Da lo mismo usar A: 7 = −2·(−2) + b = 4 + b, y otra vez b = 3.

f(x) = −2x + 3

Control: hay que probar los dos puntos. f(−2) = 4 + 3 = 7 ✔ y f(4) = −8 + 3 = −5 ✔. Además la pendiente es negativa y efectivamente al pasar de x = −2 a x = 4 la función bajó, así que el signo tiene sentido.

Dónde se pierde el punto: calcular la pendiente como (y₂ − y₁)/(x₁ − x₂), mezclando los órdenes. Eso da la pendiente con el signo cambiado y la recta sale espejada.

Y uno del nivel del parcial

Sea r la recta de ecuacion y = -x/2 + 4. Hallar la recta s, perpendicular a r, que pasa por el punto P = (-2, 5). Hallar despues el punto donde se cortan r y s.

Planteo: la condición de perpendicularidad me da la pendiente de s, y el punto P me da el segundo dato. Con eso escribo s, y recién después busco la intersección igualando.

Paso 1: la pendiente de s. La de r es m_r = −1/2 (cuidado: es el coeficiente de x, y el 4 no interviene). Doy vuelta la fracción y cambio el signo:

m_s = −1/(−1/2) = 2

Paso 2: la ordenada de s. Reemplazo P = (−2, 5) en y = 2x + b:

5 = 2·(−2) + b = −4 + b ⟹ b = 9
s: y = 2x + 9

Paso 3: dónde se cortan. Se igualan las dos fórmulas, porque en el punto de corte las dos rectas tienen la misma altura:

2x + 9 = −x/2 + 4
2x + x/2 = 4 − 9
(5/2)x = −5 ⟹ x = −2

Y la altura: y = 2·(−2) + 9 = 5.

Se cortan en (−2, 5)

Que dé exactamente P no es casualidad ni error: P está sobre s por construcción, y también resultó estar sobre r. Control en r: −(−2)/2 + 4 = 1 + 4 = 5 ✔. Cuando el punto dado ya pertenece a la otra recta, la perpendicular la corta justo ahí.

Dónde se pierde el punto: usar como pendiente de la perpendicular el 1/2 sin el signo, o el −2. El control es siempre el mismo producto: (−1/2)·2 = −1 ✔.

Dónde se cae la mayoría

Calcular la pendiente entre dos puntos restando en distinto orden arriba y abajo: si arriba hacés y2 − y1, abajo tiene que ser x2 − x1.
Leer f(1) = 0 como el punto (0, 1) en vez de (1, 0).
Usar la pendiente de la recta dada para una perpendicular, sin invertirla ni cambiarle el signo.
Despejar b con un punto y no controlar con el otro dato, que es justamente el que detecta el error.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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