Matemática (51) · Unidad 2 — Funciones, rectas, parábolas y polinomios

Función cuadrática: vértice e imagen

Completar cuadrados no es una gimnasia algebraica: es el truco que convierte cualquier parábola en una de la que ya sabés todo —dónde está el vértice y hacia dónde abre— sin calcular un solo punto.

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La explicación

Para qué sirve esto

El vértice es el punto más importante de una parábola: es el máximo o el mínimo de la función, el eje de simetría pasa por ahí, la imagen arranca ahí y los intervalos de crecimiento cambian ahí. Un solo punto que contesta cuatro preguntas del parcial.

Las tres formas de escribir la misma parábola

polinómica: f(x) = ax² + bx + c  → regala c, que es f(0)
canónica: f(x) = a(x − x_v)² + y_v  → regala el vértice
factorizada: f(x) = a(x − x₁)(x − x₂)  → regala los ceros

Son la misma función escrita distinto, y el a es siempre el mismo en las tres. Elegir la forma correcta según lo que te piden es la mitad del trabajo: si te piden el vértice, vas a la canónica; si te piden los ceros, a la factorizada.

El vértice, por la fórmula

La abscisa del vértice sale de una fórmula que conviene tener automatizada:

x_v = −b / (2a) y_v = f(x_v)

1. Identificá a, b y c con su signo. En f(x) = x² − 6x + 5 es b = −6, no 6.
2. Calculá x_v = −b/(2a). Si b es negativo, el −b es positivo.
3. La altura del vértice no tiene fórmula propia que valga la pena: se calcula evaluando, y_v = f(x_v).
4. Escribí el vértice como par ordenado V = (x_v, y_v).

Completar cuadrados

Es el camino que no depende de recordar ninguna fórmula, y además te deja la forma canónica escrita:

1. Sacá el a como factor común de los dos primeros términos.
2. Adentro del paréntesis, sumá y restá el cuadrado de la mitad del coeficiente de x.
3. Armá el binomio al cuadrado y sacá lo que sobra afuera, multiplicándolo por a.
4. Leé el vértice: en a(x − h)² + k, el vértice es (h, k). Ojo con el signo de h: en (x + 2)² el vértice está en x = −2.

Ejemplo: x² + 4x − 5 = (x² + 4x + 4) − 4 − 5 = (x + 2)² − 9, así que V = (−2, −9).

Hacia dónde abre, la imagen y la simetría

a > 0 → abre hacia arriba, el vértice es un mínimo, Im f = [y_v, +∞)
a < 0 → abre hacia abajo, el vértice es un máximo, Im f = (−∞, y_v]

La imagen siempre es media recta que arranca en la altura del vértice, con corchete porque ese valor sí se alcanza (justamente en el vértice). El eje de simetría es la recta vertical x = x_v: la parábola es un espejo respecto de ella, y por eso dos x que estén a la misma distancia del vértice dan exactamente la misma altura. De ahí también salen los intervalos: con a > 0 la función decrece en (−∞, x_v) y crece en (x_v, +∞), y con a < 0 es al revés.

El control que conviene hacer siempre

Calculá el vértice por los dos caminos: fórmula y completar cuadrados. Si no coinciden, hay un signo mal en alguno de los dos. Y un control extra que cuesta nada: evaluá en x_v + 1 y en x_v − 1; tienen que dar exactamente lo mismo, porque son simétricos respecto del eje.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Sea f(x) = x^2 + 4x - 5. Hallar el vertice, dar la imagen y los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Planteo: el vértice contesta las tres preguntas, así que es lo primero. Lo voy a sacar por fórmula y después lo controlo completando cuadrados.

El vértice, por fórmula. Acá a = 1, b = 4, c = −5:

x_v = −b/(2a) = −4/2 = −2
y_v = f(−2) = 4 − 8 − 5 = −9
V = (−2, −9)

Control por completar cuadrados. La mitad de 4 es 2, y su cuadrado es 4:

x² + 4x − 5 = (x² + 4x + 4) − 4 − 5 = (x + 2)² − 9

De la forma canónica se lee V = (−2, −9) ✔, igual que por fórmula. El +2 de adentro del paréntesis da un vértice en −2: el signo se invierte.

La imagen. Como a = 1 > 0 la parábola abre hacia arriba y el vértice es el punto más bajo:

Im f = [−9, +∞)

Corchete en el −9 porque ese valor sí se alcanza, exactamente en x = −2.

Crecimiento. Abriendo hacia arriba, primero baja hasta el vértice y después sube:

decrece en (−∞, −2) · crece en (−2, +∞)

Control de simetría: f(−1) = 1 − 4 − 5 = −8 y f(−3) = 9 − 12 − 5 = −8. Iguales ✔: son dos puntos a la misma distancia del eje x = −2.

Dónde se pierde el punto: dar la imagen como [−2, +∞), que es usar la abscisa del vértice en vez de su altura.

Y uno del nivel del parcial

Sea f(x) = -3x^2 + 12x - 9. Hallar el vertice, la imagen, los ceros, el eje de simetria y escribir f en forma canonica y en forma factorizada.

Planteo: el a es negativo, así que la parábola abre hacia abajo y el vértice va a ser un máximo. Conviene tenerlo presente desde el principio para controlar el resultado.

El vértice. a = −3, b = 12, c = −9:

x_v = −12/(2·(−3)) = −12/(−6) = 2
y_v = f(2) = −12 + 24 − 9 = 3
V = (2, 3)

Los dos signos negativos del denominador y del numerador se cancelan: por eso x_v da positivo aunque a y c sean negativos.

La forma canónica. Sacamos −3 de factor común de los dos primeros términos:

−3(x² − 4x) − 9 = −3(x² − 4x + 4) + 12 − 9 = −3(x − 2)² + 3

Cuidado con el +12: al meter el +4 adentro del paréntesis, en realidad estoy restando −3·4 = −12, así que hay que compensar sumando 12 afuera. Ese es el paso que más se equivoca cuando a ≠ 1.

La imagen y el eje. Como a = −3 < 0, abre hacia abajo:

Im f = (−∞, 3] · eje de simetría: x = 2

Los ceros. Desde la canónica salen sin resolvente:

−3(x − 2)² + 3 = 0 ⟹ (x − 2)² = 1 ⟹ x − 2 = ±1
x = 1 y x = 3

La forma factorizada. Con los ceros y el mismo a:

f(x) = −3(x − 1)(x − 3)

Control: desarrollando, −3(x² − 4x + 3) = −3x² + 12x − 9 ✔, que es la original. Y el vértice está justo en el medio de los ceros: (1 + 3)/2 = 2 ✔, como tiene que ser por simetría.

Dónde se pierde el punto: olvidarse de multiplicar por a lo que se saca del paréntesis al completar cuadrados, y escribir la factorizada sin el a adelante. Sin el −3, la función factorizada no es la misma: da vuelta la parábola.

Dónde se cae la mayoría

Usar b/2a en vez de −b/2a y quedarse con el vértice del lado equivocado del eje.
Leer el vértice de a(x + 3)² + 1 como (3, 1): el signo de adentro del paréntesis se invierte, es (−3, 1).
Dar la imagen como [x_v, +∞), usando la abscisa del vértice en lugar de su altura.
Dar la imagen con paréntesis en el extremo: el valor del vértice sí se alcanza, así que va corchete.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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Dónde entra este tema en el parcial

Primer parcial — La parábola y la recta20 puntos · resuelto paso a paso

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