Matemática (51) · Unidad 2 — Funciones, rectas, parábolas y polinomios
Función lineal: pendiente y ordenada al origen
En y = mx + b los dos números dicen todo: b es dónde arranca y m es cuánto sube por cada paso a la derecha. Con eso solo ya sabés graficarla, decir si crece y encontrar su cero, sin hacer una tabla.
La explicación
Para qué sirve esto
La función lineal es la más simple que existe y por eso es la que aparece en todos lados: en los problemas de costos, en las aproximaciones, y más adelante en la recta tangente, que es la recta que mejor imita a una curva cerca de un punto. Si leés m y b de un vistazo, media unidad se te vuelve automática.
Los dos números
m = pendiente · b = ordenada al origen
La ordenada al origen es fácil: es f(0), o sea la altura a la que la recta cruza el eje y. Se lee directo de la fórmula.
La pendiente es la tasa de cambio: cuánto cambia y cuando x aumenta en 1. Si m = 3, cada paso a la derecha sube 3. Si m = −1/2, cada paso a la derecha baja media unidad. Entre dos puntos cualesquiera de la recta:
Y da lo mismo qué dos puntos elijas: esa constancia es lo que define a una recta.
Graficar sin tabla de valores
2. Desde ahí, movete 1 a la derecha y m hacia arriba (hacia abajo si m es negativo). Marcá el segundo punto.
3. Si m es una fracción p/q, conviene moverse q a la derecha y p hacia arriba, para caer justo en un cruce de la cuadrícula.
4. Uní los dos puntos y prolongá. Dos puntos bastan: no hace falta ninguna tabla.
Crecimiento, decrecimiento y el cero
El signo de m decide todo el comportamiento, y no hay casos intermedios:
El cero (o raíz) es el x donde la recta cruza el eje horizontal. Se busca resolviendo f(x) = 0:
Si m = 0 la función es constante: si además b ≠ 0 no tiene ningún cero, y si b = 0 es la función nula y todos los x son ceros. Son casos raros pero se toman.
Paralelas y perpendiculares
Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente. Si además tienen la misma ordenada al origen, son la misma recta.
perpendiculares: m1 · m2 = −1, o sea m2 = −1/m1
La regla práctica para la perpendicular: das vuelta la fracción y le cambiás el signo. La perpendicular a una de pendiente 3 tiene pendiente −1/3; la perpendicular a una de pendiente −2/5 tiene pendiente 5/2. Y ojo: una recta horizontal (m = 0) es perpendicular a una vertical, pero la vertical no es función y no tiene pendiente, así que ese caso se maneja aparte.
El control que conviene hacer siempre
Después de escribir cualquier recta, evaluala en dos x distintos y fijate que la diferencia de las y sea exactamente m veces la diferencia de las x. Y mirá el dibujo: si dijiste que era decreciente, el cero tiene que quedar a la derecha del (0, b) cuando b es positivo. Un signo mal se ve antes en el dibujo que en la cuenta.
Sea f(x) = (3/2)x - 3. Dar la pendiente, la ordenada al origen y el cero, decir si crece o decrece, y dar la pendiente de cualquier recta perpendicular a f.
Planteo: la función ya está escrita en la forma mx + b, así que los dos primeros datos se leen sin hacer ninguna cuenta.
Pendiente y ordenada. El número que multiplica a x es m = 3/2 = 1,5. El término suelto es b = −3.
Crecimiento. Como m = 1,5 > 0, la función es creciente en todo ℝ. Cada paso a la derecha la sube una unidad y media.
El cero. Se resuelve f(x) = 0:
(3/2)x = 3
x = 3 · (2/3) = 2
Dividir por 3/2 es multiplicar por 2/3: es el paso donde más se traba la gente, y conviene hacerlo así y no con decimales.
La perpendicular. Se da vuelta la fracción y se cambia el signo:
Control: 3/2 · (−2/3) = −1 ✔, que es exactamente la condición de perpendicularidad. Y f(2) = 3 − 3 = 0 ✔, así que el cero está bien.
Dónde se pierde el punto: dar la perpendicular como 2/3, sin el signo. El producto tiene que dar −1, no 1.
Sean r: y = 2x - 5 y s: y = -x/2 + 3. Decidir si son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos, hallar los ceros de cada una y hallar el punto donde se cortan.
Planteo: las dos comparaciones —paralelismo y perpendicularidad— se contestan sólo con las pendientes. El punto de corte, en cambio, necesita igualar las dos fórmulas.
Las pendientes. De r sale m1 = 2. De s hay que mirar con cuidado: −x/2 es lo mismo que (−1/2)x, así que m2 = −1/2.
¿Paralelas? No: 2 ≠ −1/2. ¿Perpendiculares? Se hace el producto:
Los ceros. Cada uno por separado, igualando a cero:
s: −x/2 + 3 = 0 ⟹ x/2 = 3 ⟹ x = 6
El punto de corte. Acá no se iguala a cero sino una fórmula con la otra, porque se busca el x donde las dos dan lo mismo:
2x + x/2 = 8
(5/2)x = 8 ⟹ x = 16/5 = 3,2
La altura sale reemplazando en cualquiera de las dos: y = 2·3,2 − 5 = 1,4.
Control: hay que reemplazar en la otra recta, que es lo que realmente verifica. s(3,2) = −1,6 + 3 = 1,4 ✔. Si hubiera dado distinto, el error estaría en el despeje.
Dónde se pierde el punto: contestar sólo el x. El punto de corte es un par ordenado, y vale la mitad si falta la segunda coordenada.
Dónde se cae la mayoría
- Leer la pendiente de 3 − 2x como 3, porque está escrita primero. La pendiente es la que multiplica a x: es −2.
- Decir que la perpendicular a y = 4x + 1 tiene pendiente 1/4: falta el signo menos, tiene que ser −1/4.
- Calcular la pendiente entre dos puntos como Δx/Δy, con la resta de las x arriba.
- Confundir el cero de la función (donde cruza el eje x) con la ordenada al origen (donde cruza el eje y).
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Función lineal: pendiente y ordenada al origen →Los otros temas de la unidad 2
Funciones, rectas, parábolas y polinomios
- 2.1 Qué es una función: dominio, imagen y gráfico
- 2.3 Hallar la recta a partir de datos
- 2.4 Intersección de rectas y comparación
- 2.5 Función cuadrática: vértice e imagen
- 2.6 Ceros, positividad y negatividad de la cuadrática
- 2.7 Hallar la cuadrática a partir de datos
- 2.8 Funciones polinómicas: ceros, multiplicidad y signo
- 2.9 Continuidad y teorema de Bolzano
- 2.10 Composición de funciones
- 2.11 Función inversa