Matemática (51) · Unidad 2 — Funciones, rectas, parábolas y polinomios
Qué es una función: dominio, imagen y gráfico
Una función no es una fórmula: es una fórmula más el conjunto de valores donde esa fórmula tiene permiso de existir. El dominio no se elige, se descubre mirando qué operaciones hay escritas.
La explicación
Para qué sirve esto
Toda la materia de acá en adelante —rectas, parábolas, polinomios, límites, derivadas— es el estudio de funciones. Si el dominio te sale mal, todo lo que venga después sale mal con él: vas a buscar ceros donde la función ni siquiera existe, o a dar una imagen que incluye valores que nunca se alcanzan.
La definición, en criollo
Una función f es una regla que a cada elemento de un conjunto (el dominio) le asigna un solo valor. Ese "uno solo" es lo que la hace función: si a un x le correspondieran dos valores distintos, no es función.
Im f = los valores y que f efectivamente alcanza
El gráfico de f es el conjunto de puntos (x, f(x)) del plano. De ahí sale el test visual más útil que hay: si una recta vertical corta al dibujo en dos puntos, eso no es el gráfico de una función.
El dominio natural: dos prohibiciones y nada más
Cuando el enunciado no aclara el dominio, se toma el dominio natural: todos los reales donde la cuenta se puede hacer. En esta materia hay exactamente dos cosas prohibidas:
no hay raíz cuadrada de un negativo → el radicando ≥ 0
2. Por cada denominador planteá "≠ 0" y resolvé; por cada raíz planteá "≥ 0" y resolvé.
3. Si hay más de una condición, el dominio es la intersección: tienen que cumplirse todas a la vez.
4. Escribí el resultado como intervalo o unión de intervalos, no como una lista de desigualdades sueltas.
Ojo con el paso 3: es intersección, no unión. Si f(x) = √(x+1)/(x−2), hace falta x ≥ −1 y además x ≠ 2, o sea [−1, 2) ∪ (2, +∞). Sacar el 2 parte el intervalo en dos, y eso está bien.
Cómo se decide si un número está en la imagen
Preguntar "¿b ∈ Im f?" es preguntar si alguien va a parar a b. Y eso se contesta de una sola manera: planteando la ecuación y resolviéndola.
Las dos partes importan. Si la ecuación no tiene solución real, b no está en la imagen. Y si la solución existe pero cae fuera del dominio, tampoco: no vale como preimagen un x donde f ni siquiera está definida.
Leer un gráfico
Sobre un dibujo, el dominio se lee proyectando sobre el eje x (¿arriba de qué x hay dibujo?) y la imagen proyectando sobre el eje y (¿a la altura de qué y hay dibujo?). Los ceros son los puntos donde el gráfico toca el eje x, y la ordenada al origen es el valor en x = 0, que es único justamente porque es una función.
El control que conviene hacer siempre
Elegí un número de tu dominio y calculá f ahí: tiene que dar un número real sin problemas. Después elegí uno que hayas excluido y verificá que efectivamente rompe la cuenta. Si el que excluiste funciona perfecto, sobra una condición; si el que incluiste rompe, falta una.
Hallar el dominio de f(x) = (2x + 1)/(x - 3) y decidir si -3 pertenece a la imagen de f.
Planteo: hay una sola operación prohibida a la vista, la división, así que el dominio sale de una sola condición y la pregunta por la imagen sale de una sola ecuación.
Dominio: el denominador no puede anularse.
Dom f = ℝ − {3} = (−∞, 3) ∪ (3, +∞)
Fijate que el numerador no impone nada: que 2x + 1 se anule en x = −1/2 solo significa que ahí la función vale cero, no que no exista.
¿Está el −3 en la imagen? Hay que ver si alguien va a parar a −3, o sea resolver f(x) = −3:
2x + 1 = −3(x − 3) = −3x + 9
5x = 8 ⟹ x = 8/5 = 1,6
El paso clave es multiplicar los dos lados por (x − 3), y eso se puede hacer justamente porque x ≠ 3 en todo el dominio.
Control: 8/5 pertenece al dominio (no es 3), y reemplazando: (2·1,6 + 1)/(1,6 − 3) = 4,2/(−1,4) = −3 ✔. Entonces −3 ∈ Im f, y su preimagen es x = 1,6.
Dónde se pierde el punto: contestar "sí está" sin exhibir el x que lo produce. La respuesta completa es el valor de x, no el sí.
Sea h(x) = raiz(x + 1)/(x - 2). Hallar el dominio de h, decidir si 0 pertenece a la imagen y decidir si -1 pertenece a la imagen.
Planteo: acá hay dos operaciones prohibidas en la misma fórmula, una raíz y una división. Cada una aporta su condición y las dos tienen que cumplirse a la vez.
Dominio. De la raíz: x + 1 ≥ 0, o sea x ≥ −1. Del denominador: x − 2 ≠ 0, o sea x ≠ 2.
El −1 sí entra: la raíz de cero existe y vale 0. El que queda afuera es el 2, y al sacarlo de adentro del intervalo lo parte en dos pedazos.
¿0 ∈ Im h? Resolvemos h(x) = 0. Una fracción vale cero solo si el numerador vale cero:
Y −1 está en el dominio, así que sí. Control: h(−1) = 0/(−3) = 0 ✔.
¿−1 ∈ Im h? Acá conviene pensar antes de despejar. El numerador √(x+1) es siempre ≥ 0. Para que el cociente dé negativo, el denominador tiene que ser negativo, o sea x < 2. Entonces sí hay candidatos, y hay que resolver de verdad:
x + 1 = (2 − x)² = 4 − 4x + x²
x² − 5x + 3 = 0 ⟹ x = (5 ± √13)/2
Las dos raíces son ≈ 4,30 y ≈ 0,70. Al elevar al cuadrado se cuelan soluciones falsas, así que hay que verificar las dos. La primera no sirve: con x ≈ 4,30 el denominador es positivo y h da positivo. La segunda sí: h(0,70) = √1,70/(−1,30) ≈ 1,30/(−1,30) ≈ −1 ✔. Entonces −1 ∈ Im h.
Dónde se pierde el punto: elevar al cuadrado y quedarse con las dos soluciones sin controlar. Elevar al cuadrado no es una operación reversible: puede inventar soluciones, y hay que volver a la ecuación original a probarlas.
Dónde se cae la mayoría
- Pedir que el denominador sea mayor que cero cuando lo único prohibido es que valga cero: un denominador negativo no molesta a nadie.
- Unir las condiciones en vez de intersecarlas cuando hay una raíz y un denominador en la misma fórmula.
- Contestar que b está en la imagen porque la ecuación f(x) = b dio solución, sin fijarse si esa solución pertenece al dominio.
- Confundir dominio con imagen al leer un gráfico: el dominio se proyecta sobre el eje horizontal, no sobre el vertical.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Qué es una función: dominio, imagen y gráfico →Los otros temas de la unidad 2
Funciones, rectas, parábolas y polinomios
- 2.2 Función lineal: pendiente y ordenada al origen
- 2.3 Hallar la recta a partir de datos
- 2.4 Intersección de rectas y comparación
- 2.5 Función cuadrática: vértice e imagen
- 2.6 Ceros, positividad y negatividad de la cuadrática
- 2.7 Hallar la cuadrática a partir de datos
- 2.8 Funciones polinómicas: ceros, multiplicidad y signo
- 2.9 Continuidad y teorema de Bolzano
- 2.10 Composición de funciones
- 2.11 Función inversa