Matemática (51) · Unidad 1 — Números reales
Distancia en la recta y en el plano
La fórmula de la distancia no es una fórmula nueva: es Pitágoras escrito con coordenadas. Y en cuanto la usás para buscar un punto desconocido, el ejercicio se convierte en una cuadrática — que es exactamente el tipo de problema que aparece una y otra vez en el parcial.
La explicación
Distancia en la recta
La distancia entre dos números de la recta es cuánto hay que caminar de uno al otro, y eso se calcula restando. El problema es que la resta tiene signo y la distancia no, así que va con módulo:
El módulo es lo que hace que no importe el orden: |−7 − 4| = |−11| = 11 y |4 − (−7)| = |11| = 11. Las dos cuentas dan lo mismo, que es lo que uno espera de una distancia.
Acá se cierra el círculo con el tema anterior: |x − 3| ≤ 5 era «los x que están a distancia 5 o menos del 3». Era una condición de distancia todo el tiempo.
Distancia en el plano, y de dónde sale la fórmula
En el plano no alcanza con restar, porque hay que moverse en dos direcciones. Pero el truco es viejo: armá el triángulo rectángulo que tiene a los dos puntos como extremos de la hipotenusa.
2. El cateto vertical mide lo que cambia la y: |y₂ − y₁|.
3. La distancia es la hipotenusa, así que por Pitágoras es la raíz de la suma de los cuadrados.
4. Como los catetos van al cuadrado, los módulos sobran: un número al cuadrado ya es positivo.
Por eso no hay que memorizarla: si te la olvidás, dibujás el triángulo y la reconstruís. Y por eso tampoco importa el orden de los puntos, igual que en la recta.
Perímetro de un triángulo dados sus vértices
El perímetro es la suma de los tres lados, y cada lado es una distancia entre dos vértices. O sea: la misma fórmula, tres veces.
2. Sumá las tres.
3. Si dos vértices comparten la x, ese lado es vertical y su longitud es la resta de las y en módulo, sin raíz. Igual si comparten la y. Aprovechalo: ahorra cuentas y errores.
El ejercicio que se toma siempre: una familia de puntos a distancia dada
El enunciado da una familia con un parámetro —por ejemplo todos los puntos de la forma P = (a, 2a − 1), que son los de una recta— y pide los que están a una distancia fija de un punto conocido. Se resuelve así:
2. Igualá a la distancia que pide el enunciado.
3. Elevá al cuadrado los dos lados para sacarte la raíz de encima. Acá es seguro hacerlo: los dos lados son distancias y las distancias no son negativas.
4. Desarrollá los cuadrados y ordená: siempre queda una ecuación cuadrática en a.
5. Resolvela y reemplazá cada a en la familia para obtener los puntos.
Que quede una cuadrática no es casualidad y tiene un significado: geométricamente estás cortando una recta con una circunferencia, y eso puede dar dos puntos, uno o ninguno. Si la cuadrática te da dos raíces, hay dos puntos, y el enunciado dice «hallar todos» justamente por eso: dar uno solo es media respuesta.
El control que conviene hacer siempre
Reemplazá cada punto que encontraste en la fórmula de distancia y verificá que dé exactamente el número del enunciado. Es un control barato y detecta el error más común, que es equivocarse un signo al desarrollar el cuadrado de un binomio. Y si te dio un solo punto, releé: casi siempre falta el otro.
Calcular la distancia entre los números −7 y 4 de la recta real, y después la distancia entre los puntos A = (−2, 1) y B = (3, 13) del plano.
En la recta. La distancia es el módulo de la resta, y el módulo está justamente para que no importe en qué orden restes:
Control por el otro camino: |4 − (−7)| = |4 + 7| = 11 ✔. Mismo resultado, como tiene que ser.
En el plano: primero el triángulo. De A a B la x pasa de −2 a 3, o sea que se corre 5. Y la y pasa de 1 a 13, o sea que sube 12. Ésos son los dos catetos.
Cuidado con el Δx: el menos delante del −2 lo convierte en +2, así que da 5 y no 1. Ése es el error más frecuente de toda la cuenta.
Ahora Pitágoras. La distancia es la hipotenusa:
Control: la distancia tiene que ser mayor que cualquiera de los catetos y menor que la suma de los dos. Acá 12 < 13 < 17 ✔. Es un control de tres segundos que agarra casi cualquier error de cuenta.
Dónde se pierde el punto: restar mal cuando hay coordenadas negativas, y contestar √169 sin resolver la raíz. Si da exacta, conviene resolverla.
Calcular el perímetro del triángulo de vértices A = (2, −1), B = (2, 5) y C = (−6, −1), y decidir si el triángulo es rectángulo.
Antes de calcular, mirar las coordenadas. A y B comparten la x (las dos valen 2), así que el lado AB es vertical. A y C comparten la y (las dos valen −1), así que el lado AC es horizontal. Esos dos lados se miden restando, sin ninguna raíz.
El lado AB. Vertical: es la diferencia de las y.
El lado AC. Horizontal: es la diferencia de las x.
El lado BC. Éste sí es oblicuo, así que va con la fórmula completa:
El perímetro. Es la suma de los tres:
¿Es rectángulo? Se verifica con Pitágoras al revés: si el cuadrado del lado más largo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, el triángulo es rectángulo.
Da igual, así que sí es rectángulo, y el ángulo recto está en A, que es el vértice donde se juntan los dos catetos. Se podía ver antes de calcular nada: un lado vertical y uno horizontal forman un ángulo recto.
Control: los tres lados son 6, 8 y 10 — el triángulo 3-4-5 multiplicado por 2. Y cada lado es menor que la suma de los otros dos ✔, que es la condición para que un triángulo exista.
Dónde se pierde el punto: calcular los tres lados con la fórmula completa y equivocarse un signo en el camino, cuando dos de ellos se leían directamente de las coordenadas.
Dónde se cae la mayoría
- Restar las coordenadas cruzadas: hacer (x₂ − y₁) en vez de (x₂ − x₁).
- Olvidarse la raíz cuadrada y dar como distancia el número que en realidad es el cuadrado.
- Desarrollar mal el cuadrado de un binomio: (2a − 3)² no es 4a² + 9.
- Dar un solo punto cuando la cuadrática tiene dos raíces y el enunciado pide todos.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Distancia en la recta y en el plano →Los otros temas de la unidad 1
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