Matemática (51) · Unidad 1 — Números reales
La recta real, los intervalos y los conjuntos
Un intervalo no es una notación nueva: es la forma corta de escribir un pedazo de la recta. Todo lo que vas a resolver este cuatrimestre —inecuaciones, dominios, conjuntos de positividad— termina escrito así, y si la notación no te sale automática vas a perder puntos en ejercicios que ya sabías hacer.
La explicación
Para qué sirve todo esto
Casi ninguna respuesta de esta materia es un número solo. Cuando resolvés 2x + 1 > 7 no encontrás un x: encontrás todos los x que cumplen. Y para escribir «todos los x mayores que 3» sin escribir una frase, existen los intervalos.
Así que el objetivo es traducir en las dos direcciones: de una condición a un intervalo, y de un intervalo a una condición.
La recta real: cada número es un lugar
Los reales ℝ son todos los números que podés ubicar en una recta: los enteros, las fracciones y los irracionales (√2, π). Ubicar uno no es adivinar, es medir:
- Una fracción se ubica pasándola a decimal: −3/2 = −1,5 va justo en el medio entre −2 y −1.
- 1/5 = 0,2 y 1/8 = 0,125, así que 1/8 está más cerca del cero que 1/5. Con fracciones, más grande el denominador, más chico el número.
- Un conjunto definido por una ecuación se ubica resolviéndola primero. {x ∈ ℝ / (x − 2)(3x + 1) = 0} son dos puntos sueltos: x = 2 y x = −1/3, porque un producto da cero si y sólo si alguno de los factores da cero.
La notación de intervalos
(a, b) → a < x < b (ninguno entra)
[a, b) → a ≤ x < b (entra a, no entra b)
(a, b] → a < x ≤ b (no entra a, entra b)
Una sola regla, y no tiene excepciones: corchete = el extremo pertenece, paréntesis = no pertenece. En la recta, el punto lleno es el corchete y el punto hueco es el paréntesis.
El procedimiento para traducir
2. Mirá el símbolo que lo acompaña. Si es ≤ o ≥, corchete. Si es < o >, paréntesis.
3. Repetí con la condición por derecha: extremo superior y su símbolo.
4. Escribilo con el menor a la izquierda. (5, 2) no existe: un intervalo siempre se lee de menor a mayor.
5. Si no hay tope de un lado, ese lado es infinito.
Los intervalos infinitos y por qué el ∞ siempre va con paréntesis
Si x sólo tiene tope por un lado, del otro se escribe infinito:
ℝ entero = (−∞, +∞)
El corchete significa «este número pertenece al conjunto». Y ∞ no es un número: es una forma de decir que del lado ese no hay tope. Entonces no puede pertenecer a nada, y por eso escribir [2, +∞] está mal, siempre, sin importar el ejercicio.
Cuando el conjunto viene en dos pedazos: la unión
Hay condiciones que no se pueden escribir con un intervalo solo. «x < −1 ó x > 5» describe dos tramos separados, con todo un hueco en el medio:
El símbolo ∪ se lee «unión» y significa pertenece a alguno de los dos. Ojo con la trampa: eso no se puede escribir como una desigualdad doble. 5 < x < −1 no es lo que dice el enunciado, y además no lo cumple nadie.
La otra operación es la intersección ∩, que se queda sólo con lo que está en los dos a la vez. Para no confundirlas, dibujá los dos conjuntos uno debajo del otro sobre la misma recta: la intersección es donde se superponen, la unión es todo lo pintado.
El control que conviene hacer siempre
Antes de dar la respuesta, probá dos números: uno que según tu intervalo esté adentro y uno que esté afuera, y fijate si cumplen o no la condición original. Y probá los extremos aparte, que es donde se juega el paréntesis contra el corchete. Treinta segundos de control detectan casi todos los errores de esta unidad.
Representar en la recta real el conjunto A = {x ∈ ℝ / (2x + 7)(5x − 3) = 0}.
Qué clase de conjunto es. Acá no hay una desigualdad sino una igualdad, así que A no va a ser un tramo de recta: van a ser puntos sueltos. Los que hacen cero ese producto, y nada más.
La herramienta. Un producto de dos factores da cero si y sólo si alguno de los dos da cero. No hay otra forma. Entonces el problema se parte en dos ecuaciones chiquitas:
Se resuelve cada una. De la primera, 2x = −7, o sea x = −7/2 = −3,5. De la segunda, 5x = 3, o sea x = 3/5 = 0,6.
La representación. Dos puntos llenos sobre la recta: uno a mitad de camino entre −4 y −3, y otro entre el 0 y el 1, más cerca del 1 que del medio. Pasar las fracciones a decimal antes de dibujar no es hacer trampa, es la única manera de ubicarlas bien.
Control: reemplazando x = −7/2 queda (−7 + 7)(…) = 0 ✔, y con x = 3/5 queda (…)(3 − 3) = 0 ✔. Los dos anulan el producto.
Dónde se pierde el punto: escribir la respuesta como un intervalo. A no es [−7/2, 3/5]: el 0 está entre los dos y no pertenece, porque (7)(−3) = −21 ≠ 0. Una igualdad da puntos, una desigualdad da tramos.
Sean A = {x ∈ ℝ / −3 < x ≤ 2} y B = {x ∈ ℝ / x < −1 ó x ≥ 4}. Escribir A y B como intervalo o unión de intervalos, hallar A ∪ B y A ∩ B, y decidir si el 3 pertenece a A ∪ B.
Primero traducir, después operar. Mientras los conjuntos estén escritos con desigualdades no se puede dibujar nada, y sin dibujo estas cuentas se hacen a ciegas.
El conjunto A. Tiene tope por los dos lados. Por izquierda −3 con < (paréntesis), por derecha 2 con ≤ (corchete):
El conjunto B. Acá hay un «ó», así que son dos pedazos y va una unión. El primero no tiene tope por izquierda y el segundo no lo tiene por derecha:
La unión A ∪ B. Conviene dibujar los tres tramos en la misma recta. El (−∞, −1) y el (−3, 2] se superponen —comparten todo el pedazo de −3 a −1— así que se funden en uno solo que llega hasta el 2 inclusive. El [4, +∞) queda suelto:
Que dos tramos se superpongan es justamente lo que permite pegarlos. Si no se tocaran, habría que dejar los tres.
La intersección A ∩ B. Se corta A contra cada pedazo de B por separado. Con (−∞, −1) queda (−3, −1); con [4, +∞) no queda nada, porque A se termina en el 2:
¿El 3 está en A ∪ B? No. En A no está porque 3 > 2, y en B tampoco porque no es menor que −1 ni mayor o igual que 4. El 3 cae justo en el hueco.
Control: probando x = 0, está en A ✔ y entonces en la unión ✔, y no está en B ✔, así que tampoco en la intersección ✔. Todo coherente.
Dónde se pierde el punto: escribir A ∪ B como un solo intervalo (−∞, +∞) «porque cubren casi todo». El hueco (2, 4) es real y hay que dejarlo escrito.
Dónde se cae la mayoría
- Ponerle corchete al infinito: [2, +∞] está mal escrito, va [2, +∞).
- Escribir el intervalo al revés, tipo (5, 2). El extremo izquierdo es siempre el menor.
- Convertir un «ó» en una desigualdad doble: x < −1 ó x > 5 es una unión, no 5 < x < −1.
- Usar corchete y paréntesis como si fueran lo mismo, o poner el mismo en los dos extremos sin mirar cada símbolo por separado.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar La recta real, los intervalos y los conjuntos →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — Los dos conjuntos20 puntos · resuelto paso a paso
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