Matemática (51) · Unidad 1 — Números reales
Módulo: ecuaciones e inecuaciones
El módulo no es «sacarle el menos a los números»: es la distancia al cero. Si lo pensás como distancia, |x| < 3 y |x| > 3 se resuelven mirando la recta, y los casos raros —|x| = −2, |x| ≥ −1— dejan de ser trampas y pasan a ser obvios.
La explicación
Qué es el módulo, y la definición que sirve
La definición formal dice que |x| vale x si x ≥ 0 y vale −x si x < 0. Es correcta, pero no es la que se usa para resolver. La que sirve es ésta:
|5| = 5 y |−5| = 5 porque los dos están a 5 pasos del origen.
Pensado así, el módulo nunca es negativo: una distancia no puede serlo. Y todo lo que viene después sale de esa sola frase.
Ecuaciones: |x| = a
«¿Qué números están a distancia a del cero?» Depende del signo de a, y hay tres casos:
a = 0 → una sola: x = 0
a < 0 → ninguna: el conjunto es vacío (∅)
El tercero es el que más se falla, y es el más fácil de todos: |x| = −2 no tiene solución porque ninguna distancia da −2. No hay que hacer ninguna cuenta, y de hecho hacerla es lo que lleva al error.
Inecuaciones: |x| < a y |x| > a
Misma pregunta, con desigualdad. Los que están a menos de a del cero son los del medio; los que están a más son los de los costados:
|x| > a → x < −a ó x > a → una unión: (−∞, −a) ∪ (a, +∞)
La forma de no confundirlas es no memorizarlas: dibujá el cero, marcá a y −a, y preguntate si querés lo de adentro o lo de afuera. Con ≤ y ≥ es igual, sólo cambian los paréntesis por corchetes.
Fijate en algo importante: «menor» da un intervalo y «mayor» da una unión. Si te dio al revés, algo se invirtió en el camino.
Los casos raros, que son los que se toman
|x| < −3 → vacío también. Ninguna distancia es menor que un número negativo.
|x| ≥ −1 → todo ℝ. Cualquier distancia, hasta la del cero, es mayor que −1: la condición no restringe nada.
|x| > −4 → todo ℝ, por lo mismo.
|x| ≤ 0 → sólo x = 0, porque la única distancia que no es positiva es la nula.
La regla para reconocerlos de un vistazo: si del otro lado hay un número negativo, no hay nada que despejar. O no lo cumple nadie, o lo cumplen todos, y decidir cuál es de las dos cosas lleva dos segundos.
La lectura que hace fácil todo lo demás: |x − c|
Entonces |x − 4| < 3 dice «los x que están a menos de 3 del 4», y ésos son los que van desde 4 − 3 hasta 4 + 3:
Leído así no hace falta despejar: el centro es el número que acompaña a la x y el radio es el de la derecha. También se puede hacer a mano abriendo la desigualdad doble −3 < x − 4 < 3 y sumando 4 en los tres miembros, que da lo mismo. Y ojo con el signo: |x + 2| = |x − (−2)| tiene centro en −2, no en 2.
El control que conviene hacer siempre
Reemplazá un número de adentro y uno de afuera en la expresión con módulo original, calculando el módulo de verdad (o sea, quedándote con el valor positivo). Y cuando el resultado te dé un intervalo, verificá que el centro esté adentro: en |x − 4| < 3, el 4 tiene que pertenecer, porque su distancia a sí mismo es 0. Si no está, el intervalo está corrido.
Representar en la recta real y escribir como unión de intervalos el conjunto {x ∈ ℝ / |x| ≥ 5}.
Traducir antes de calcular. |x| es la distancia de x al cero, así que la condición dice: «los x que están a 5 o más de distancia del origen».
Dónde están ésos. Marcá el 5 y el −5 en la recta. Los que están a distancia 5 o más no son los del medio —ésos están más cerca— sino los de los dos costados: todo lo que queda de −5 hacia la izquierda y de 5 hacia la derecha.
Los bordes. El 5 y el −5 están exactamente a distancia 5, y el símbolo es ≥, que acepta la igualdad. Así que los dos entran, con corchete.
La representación. Dos flechas hacia afuera, con el punto lleno en −5 y en 5, y todo el tramo del medio sin pintar.
Control: con x = 6, |6| = 6 ≥ 5 ✔. Con x = −7, |−7| = 7 ≥ 5 ✔. Con x = 0, |0| = 0 ≥ 5, falso ✔. Y con x = 5 justo, 5 ≥ 5 se cumple, así que el corchete está bien.
Dónde se pierde el punto: contestar [−5, 5], que es el conjunto exactamente contrario. «Mayor» da la unión de los dos costados; «menor» da el intervalo del medio. Si dudás, probá el 0: acá no cumple, así que no puede estar en la respuesta.
Escribir como intervalo o unión de intervalos los conjuntos A = {x ∈ ℝ / |x − 4| < 6} y B = {x ∈ ℝ / |2x + 1| ≥ 5}, y hallar A ∩ B.
El conjunto A, leído como distancia. |x − 4| es la distancia entre x y 4, así que A son los que están a menos de 6 del número 4. O sea: desde 4 − 6 hasta 4 + 6, sin incluir los bordes.
Si preferís hacerlo a mano, es lo mismo: −6 < x − 4 < 6, y sumando 4 en los tres miembros queda −2 < x < 10.
El conjunto B. Acá el módulo es «mayor o igual», así que va a dar una unión, no un intervalo. Se abre en los dos casos:
Ojo con el segundo: cuando se abre un ≥, el caso del lado negativo lleva la desigualdad dada vuelta. De la primera, 2x ≥ 4, o sea x ≥ 2. De la segunda, 2x ≤ −6, o sea x ≤ −3.
La intersección. Se corta A contra cada pedazo de B por separado. Contra (−∞, −3] no queda nada, porque A arranca en −2. Contra [2, +∞) queda desde el 2 hasta donde A se termina:
El 2 entra porque los dos lo incluyen; el 10 no, porque A lo excluye.
Control: con x = 5, |5 − 4| = 1 < 6 ✔ y |11| = 11 ≥ 5 ✔, así que está en la intersección ✔. Con x = 0, |−4| = 4 < 6 ✔ pero |1| = 1 ≥ 5 es falso ✔, así que no está — y efectivamente el 0 no pertenece a [2, 10).
Dónde se pierde el punto: al abrir |2x + 1| ≥ 5, escribir el segundo caso como 2x + 1 ≤ 5 sin cambiar el signo del 5, o sin dar vuelta la desigualdad. Ese error da un conjunto que no se parece en nada.
Dónde se cae la mayoría
- Resolver |x| = −2 «despejando» y contestar x = 2 y x = −2, cuando el conjunto es vacío.
- Contestar que |x| ≥ −1 no tiene solución, cuando en realidad la cumplen todos los reales.
- Dar |x| > 3 como un intervalo en vez de una unión de dos.
- Leer |x + 2| como si el centro fuera 2: el centro es −2, porque |x + 2| = |x − (−2)|.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Módulo: ecuaciones e inecuaciones →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — Los dos conjuntos20 puntos · resuelto paso a paso
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