Matemática (51) · Unidad 1 — Números reales
Inecuaciones lineales
Una inecuación se resuelve casi igual que una ecuación, con una sola diferencia que lo cambia todo: al multiplicar o dividir los dos lados por un número negativo, la desigualdad se da vuelta. Esa única regla es la que separa el ejercicio bien del ejercicio mal.
La explicación
Para qué sirve y en qué se diferencia de una ecuación
Resolver 2x + 1 = 7 da un número. Resolver 2x + 1 > 7 da un conjunto: todos los x que cumplen. Por eso la respuesta de una inecuación no se termina en «x > 3»: se termina en «(3, +∞)», escrita como intervalo.
El procedimiento es el mismo que el de una ecuación —despejar x— salvo por una regla que no existe en las ecuaciones y que es responsable de casi todos los errores de esta unidad.
Lo que se puede hacer sin pensarlo
- Sumar o restar lo mismo en los dos lados: nunca cambia nada. Si a < b, entonces a + 5 < b + 5.
- Multiplicar o dividir por un número positivo: tampoco cambia nada. Si a < b, entonces 3a < 3b.
La regla que decide todo
la desigualdad se da vuelta.
< pasa a > · ≤ pasa a ≥
No es una convención que haya que memorizar: se ve con números. Es verdad que −4 < 3. Multiplicá los dos lados por −1: del lado izquierdo queda 4 y del derecho −3. Y 4 no es menor que −3, es mayor. Multiplicar por un negativo refleja la recta como un espejo, y el que estaba a la izquierda pasa a estar a la derecha.
Ojo con esto: sólo se da vuelta cuando el número por el que multiplicás es negativo. Que aparezca un número negativo en el ejercicio no alcanza. En 3x < −12 se divide por 3, que es positivo, y no se da vuelta nada: x < −4.
El procedimiento
2. Juntá todos los términos con x de un lado y los números del otro, sumando y restando. Este paso nunca da vuelta nada.
3. Te queda algo de la forma a·x < b. Dividí por a.
4. Si a es negativo, dá vuelta la desigualdad. Ése es el único momento del ejercicio donde puede pasar.
5. Escribí la respuesta como intervalo.
Un truco para esquivar la regla cuando no te la bancás: en el paso 2, pasá las x para el lado donde queden positivas. De 5 − 2x > 3 podés sacar 2 > 2x, que se divide por 2 y no se da vuelta nada. Da lo mismo, y es más difícil equivocarse.
Inecuaciones dobles
A veces la condición viene encerrada entre dos números, tipo −1 ≤ 2 − 3x < 5. Se resuelve igual, pero todo lo que hagas se lo hacés a los tres miembros:
−3 ≤ −3x < 3 (divido por −3, se da vuelta TODO)
1 ≥ x > −1 → (−1, 1]
Fijate en dos cosas. Primero: al dividir por −3 se dan vuelta las dos desigualdades. Segundo: cuando eso pasa, el número que estaba a la izquierda queda a la derecha, así que hay que reescribir el resultado de menor a mayor antes de pasarlo a intervalo. Ahí se pierden muchos ejercicios que estaban bien resueltos.
El control que conviene hacer siempre
Elegí un número de adentro de tu intervalo y reemplazalo en la inecuación original: tiene que dar verdadero. Después elegí uno de afuera: tiene que dar falso. Si te olvidaste de dar vuelta el signo, el conjunto te dio justo el contrario y este control lo detecta en diez segundos.
Resolver 5 − 2x > 3x + 20 y escribir la solución como intervalo.
El plan. Juntar las x de un lado y los números del otro, y recién al final dividir. Elijo dejar las x del lado derecho, donde ya hay más, para que me queden positivas y no tener que dar vuelta nada.
Paso 1: junto las x. Sumo 2x en los dos lados. Sumar nunca cambia el sentido de la desigualdad:
Paso 2: junto los números. Resto 20 en los dos lados:
Paso 3: divido. Divido por 5, que es positivo, así que la desigualdad queda como está:
Paso 4: lo escribo como intervalo. No hay tope por izquierda y el −3 no entra:
Control: con x = −4 (que está adentro) queda 5 + 8 = 13 de un lado y −12 + 20 = 8 del otro, y 13 > 8 ✔. Con x = 0 (afuera) queda 5 > 20, falso ✔. Y con x = −3 justo, 11 > 11 es falso, así que el paréntesis está bien puesto ✔.
Dónde se pierde el punto: leer «−3 > x» como si fuera «x > −3» y escribir (−3, +∞), que es exactamente el conjunto contrario. Cuando la x te queda a la derecha, dá vuelta la lectura antes de escribir el intervalo.
Escribir como intervalo el conjunto A = {x ∈ ℝ / 2 ≤ 3 − 5x < 7}.
Qué tengo delante. Una inecuación doble: la expresión 3 − 5x está atrapada entre 2 y 7. Se resuelve de una sola vez, operando en los tres miembros a la par.
Paso 1: saco el 3. Resto 3 en los tres lugares. Restar no da vuelta nada:
−1 ≤ −5x < 4
Paso 2: divido por −5, y acá está todo el ejercicio. El −5 es negativo, así que las dos desigualdades se dan vuelta:
Paso 3: lo reescribo de menor a mayor. Éste es el paso que más gente se saltea. Al dar vuelta los signos, los extremos quedaron cruzados: el que era cota de abajo pasó a ser la de arriba.
Paso 4: al intervalo. El −4/5 = −0,8 va con paréntesis (desigualdad estricta) y el 1/5 = 0,2 con corchete:
Control, y conviene hacerlo con los bordes. Con x = 0 (adentro): 3 − 0 = 3, y 2 ≤ 3 < 7 ✔. Con x = 1/5: 3 − 1 = 2, y 2 ≤ 2 se cumple ✔, por eso el corchete. Con x = −4/5: 3 + 4 = 7, y 7 < 7 es falso ✔, por eso el paréntesis. Los tres controles confirman los dos bordes.
Dónde se pierde el punto: dar vuelta una sola de las dos desigualdades, o dar vuelta las dos y no reordenar, y escribir (1/5 ; −4/5), que no es un intervalo de nada.
Dónde se cae la mayoría
- Olvidarse de dar vuelta el ≤ o el < al multiplicar o dividir por un número negativo.
- Dar vuelta la desigualdad al sumar o restar un número negativo: ahí no se da vuelta nada.
- En una inecuación doble, operar sólo en el miembro del medio y dejar los extremos como estaban.
- Dejar la respuesta como x > 3 cuando el enunciado pide escribirla como intervalo.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Inecuaciones lineales →Los otros temas de la unidad 1
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