Matemática (51) · Unidad 1 — Números reales
Inecuaciones con producto y cociente
Cuando la incógnita aparece multiplicando o dividiendo, despejar deja de servir: lo que hay que estudiar es el signo de cada factor por separado. El cuadro de signos convierte ese problema en una tabla que se llena mirando, y es el método que vas a usar todo el cuatrimestre.
La explicación
Por qué acá no alcanza con despejar
En (x − 1)(x + 4) > 0 no se puede «pasar dividiendo» el (x + 4), porque no sabés si es positivo o negativo: si fuera negativo habría que dar vuelta la desigualdad, y si vale cero ni siquiera se puede dividir. Con la x adentro, el signo del factor depende de la x, que es justamente lo que estás buscando.
El camino que sí funciona es otro: estudiar el signo de cada factor por separado y después combinarlos con la regla de los signos.
La idea de fondo
(+)·(−) = − (−)·(+) = −
y lo mismo, exactamente igual, para el cociente
Un factor lineal como 3x + 5 cambia de signo una sola vez, justo donde se anula. Antes tiene un signo y después el otro, sin sorpresas. Entonces, si marcás en la recta todos los puntos donde se anula algún factor, entre marca y marca el signo de toda la expresión no cambia. Eso es lo que hace que el método funcione: en vez de probar infinitos números, alcanza con probar uno por tramo.
El método del cuadro de signos
2. Factorizá y hallá dónde se anula cada factor, los de arriba y los de abajo.
3. Marcá esos valores en la recta: quedan partidas en tramos.
4. Armá una tabla con una fila por factor y una columna por tramo, y anotá + o − en cada casillero. Para saberlo, reemplazá cualquier número del tramo en ese factor.
5. La última fila es el producto o cociente: multiplicás los signos de la columna.
6. Te quedás con los tramos del signo que pide la inecuación.
7. Decidí los bordes uno por uno. Los ceros del numerador entran si la desigualdad es ≤ o ≥; los ceros del denominador nunca entran, porque ahí la expresión no existe.
Por qué NO se puede pasar multiplicando el denominador
Es el error más caro de la unidad. Mirá qué pasa en 6/(x + 1) < 2 si «pasás multiplicando»: quedaría 6 < 2(x + 1), o sea x > 2. Pero probá x = −2 en la original: 6/(−1) = −6, y −6 < 2 es verdadero. O sea que el −2 es solución y tu respuesta lo dejó afuera.
La razón es la regla de 1.2: multiplicar por (x + 1) es multiplicar por algo que no sabés de qué signo es, así que no sabés si hay que dar vuelta la desigualdad. La salida no es abrir dos casos: es pasar todo a un lado y hacer el cuadro.
Para juntar en una sola fracción se hace denominador común, igual que sumando fracciones de siempre. Y ahora sí: numerador y denominador, cada uno con su cero, y a la tabla.
Los bordes, que es donde se pierde el punto
En (3 − x)/(5 − x) ≥ 0, el cero del numerador entra (ahí la fracción vale 0, y 0 ≥ 0 es cierto) y el cero del denominador no, aunque el símbolo sea ≥. No es una excepción caprichosa: en ese punto la expresión ni siquiera está definida, así que no puede cumplir nada.
El control que conviene hacer siempre
Elegí un número de cada tramo que quedó adentro y uno de cada tramo que quedó afuera, y reemplazalos en la inecuación original, no en la que fuiste armando. Si te comiste un signo en el cuadro, el tramo entero te va a dar al revés y lo vas a ver con un solo número.
Escribir como intervalo o unión de intervalos el conjunto A = {x ∈ ℝ / (2 − x)/(3x + 5) ≥ 0}.
El planteo. Ya está igualada a cero, así que se puede empezar directo por los ceros de cada factor. El de arriba y el de abajo, los dos.
Paso 1: dónde se anula cada factor. El numerador 2 − x se anula en x = 2. El denominador 3x + 5 se anula en x = −5/3 ≈ −1,67. Esos dos valores parten la recta en tres tramos.
Paso 2: el signo de cada factor en cada tramo. Alcanza con probar un número cualquiera de cada uno:
en (−5/3, 2), probando x = 0: 2 − x = 2 (+), 3x + 5 = 5 (+) → cociente +
en (2, +∞), probando x = 3: 2 − x = −1 (−), 3x + 5 = 14 (+) → cociente −
Paso 3: elegir los tramos. Se pide ≥ 0, así que sirve el tramo del medio.
Paso 4: los bordes, uno por uno. El x = 2 es cero del numerador: ahí la fracción vale 0, y 0 ≥ 0 se cumple, así que entra con corchete. El x = −5/3 es cero del denominador: ahí la fracción no existe, así que no entra, por más que la desigualdad tenga el igual.
Control: con x = 0 (adentro) da 2/5 = 0,4 ≥ 0 ✔. Con x = 3 (afuera) da −1/14, negativo ✔. Con x = −2 (afuera) da 4/(−1) = −4 ✔. Los tres tramos confirmados.
Dónde se pierde el punto: escribir [−5/3 ; 2] poniendo corchete en los dos extremos «porque dice ≥». El borde del denominador nunca entra.
Escribir como intervalo o unión de intervalos el conjunto B = {x ∈ ℝ / (5x + 2)/(x − 1) < 3}.
Lo primero, y es todo el ejercicio: no se puede pasar el (x − 1) multiplicando. No sabemos si es positivo o negativo, así que no sabríamos si hay que dar vuelta el <. Lo que sí se puede hacer siempre es pasar el 3 restando, porque restar nunca cambia el sentido de una desigualdad.
Paso 1: una sola fracción. Denominador común (x − 1), igual que al sumar fracciones:
(5x + 2 − 3x + 3)/(x − 1) < 0
(2x + 5)/(x − 1) < 0
Ojo con el signo al distribuir el −3: el −3·(−1) da +3, y ese +3 es el que hace que el numerador quede 2x + 5 y no 2x − 1.
Paso 2: los ceros. El numerador se anula en x = −5/2 = −2,5 y el denominador en x = 1. Tres tramos.
Paso 3: el cuadro.
x = 0: (5)/(−1) → −
x = 2: (9)/(1) → +
Paso 4: elegir y decidir bordes. Se pide < 0, así que queda el tramo del medio. Como la desigualdad es estricta, el cero del numerador no entra; y el del denominador no entra nunca:
Control sobre la inecuación original: con x = 0 da 2/(−1) = −2 < 3 ✔. Con x = 2 da 12/1 = 12 < 3, falso ✔. Con x = −3 da (−13)/(−4) = 3,25 < 3, falso ✔.
Dónde se pierde el punto: pasar multiplicando y quedarse con x > 1, que deja afuera todo el tramo de −2,5 a 1. El control con x = 0 lo detecta al instante.
Dónde se cae la mayoría
- Pasar el denominador multiplicando: no se sabe su signo, así que no se sabe si hay que dar vuelta la desigualdad.
- Incluir el cero del denominador en la respuesta porque la desigualdad era ≤ o ≥. Ahí la expresión no existe.
- Armar el cuadro sin haber pasado todo a un lado, cuando la inecuación estaba igualada a un número distinto de cero.
- Olvidarse de marcar en la recta el cero del denominador, y quedarse con un tramo de más.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Inecuaciones con producto y cociente →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — Los dos conjuntos20 puntos · resuelto paso a paso
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Números reales