Matemática (51) · Unidad 0 — Preliminares
Del enunciado a la ecuación
Lo difícil de un problema con texto casi nunca es la cuenta: es decidir quién es la incógnita y escribir en símbolos lo que el enunciado dice en castellano. Y después, acordarse de volver al problema, porque una ecuación no sabe que una longitud no puede ser negativa.
La explicación
El problema no se resuelve, se traduce
Un problema con enunciado tiene dos partes bien distintas: pasarlo a ecuación y resolver la ecuación. La segunda ya la sabés hacer. La primera es la que se practica acá, y es donde se pierden los puntos.
El diccionario
Casi todos los enunciados se arman con las mismas diez frases. Conviene tenerlas automatizadas:
«los dos tercios de x» → (2/3)·x · «x aumentado en 5» → x + 5
«x disminuido en 5» → x − 5 · «el cociente entre 12 y x» → 12/x
«la base excede en 2 a la altura» → base = altura + 2
Dos avisos sobre la última, que es la que más se equivoca. «A excede en 2 a B» significa que A es el más grande: A = B + 2. Y ojo con «el doble de x aumentado en 5»: si es 2x + 5 o 2(x + 5) lo decide la coma del enunciado, así que cuando hay ambigüedad conviene aclarar qué interpretaste.
El procedimiento
2. Escribí todo lo demás en función de ella. Si x es la altura y la base la excede en 3, la base es x + 3. Nada de inventar una segunda letra.
3. Traducí el dato que todavía no usaste —el perímetro, el área, la diagonal— y ahí aparece la ecuación.
4. Resolvela.
5. Volvé al enunciado. Descartá las soluciones sin sentido, y contestá lo que preguntaron, que muchas veces no es x sino el área o el perímetro.
Las tres fórmulas del rectángulo
Área = base · altura
Diagonal = √(base² + altura²)
La tercera es Pitágoras: la diagonal parte al rectángulo en dos triángulos rectángulos donde la base y la altura son los catetos. No hace falta recordarla como fórmula aparte si te acordás del dibujo.
Fijate qué tipo de ecuación te va a quedar según el dato: con el perímetro la ecuación es lineal y sale despejando; con el área es cuadrática y hay que resolverla con la fórmula o factorizando.
El paso que todos saltean: controlar que tenga sentido
Una ecuación cuadrática devuelve dos soluciones y el problema muchas veces admite una sola. Si x era una altura y te dio x = −12, esa solución se descarta: no porque esté mal resuelta la ecuación, sino porque no hay rectángulos de altura negativa.
Y hay que descartarla diciéndolo: escribir «x = −12 se descarta porque la altura tiene que ser positiva» es parte de la respuesta, no un comentario. Lo mismo si te da cero, o si un denominador del planteo se anula.
El control que conviene hacer siempre
Volvé a leer el enunciado con tus números puestos, como si fuera un enunciado nuevo, y verificá todos los datos: «base 12 y altura 9: ¿la base excede en 3 a la altura? sí; ¿el área da 108? sí». Reemplazar en la ecuación no alcanza, porque si tradujiste mal, tu ecuación mal planteada también se va a cumplir.
El perímetro de un rectángulo es 46 cm y la base excede en 5 cm a la altura. Hallar sus lados y su área.
Elijo la incógnita. Tomo la magnitud más chica, que es la altura: x = altura, en cm. Entonces, como la base la excede en 5, la base es x + 5. Con una sola letra alcanza.
Traduzco el dato que falta. El perímetro es la suma de los cuatro lados, o sea el doble de (base + altura):
Resuelvo. Adentro del corchete junto términos: 2x + 5.
Vuelvo al enunciado. La altura es 9 cm y la base es 9 + 5 = 14 cm. Son positivas, así que el resultado tiene sentido.
Lo que preguntaron también incluye el área:
Control con el enunciado en la mano: ¿el perímetro da 46? 2·(14 + 9) = 46 ✔ ¿La base excede en 5 a la altura? 14 − 9 = 5 ✔ Los dos datos se cumplen, no sólo el que usé para armar la ecuación.
Dónde se pierde el punto: plantear el perímetro como base + altura y olvidarse del 2, o contestar sólo x = 9 cuando pedían los lados y el área.
El área de un rectángulo es 108 cm2 y su base excede en 3 cm a la altura. Hallar la altura, el perímetro y la diagonal.
Incógnita y traducción. x = altura en cm, y entonces la base es x + 3. El dato que falta es el área, que es el producto de los lados:
Es cuadrática: hay que llevarla a cero antes de resolver. Este paso no es opcional; con el 108 del otro lado no se puede factorizar ni aplicar la fórmula.
Con la resolvente, el discriminante es 3² − 4·1·(−108) = 9 + 432 = 441, y √441 = 21:
El control que define el ejercicio. x era una altura, y no existen alturas negativas: x₂ = −12 se descarta. Decirlo es parte de la respuesta.
Vuelvo al problema. Altura 9 cm, base 9 + 3 = 12 cm.
La diagonal sale por Pitágoras, porque parte el rectángulo en dos triángulos rectángulos de catetos 12 y 9:
Control con el enunciado: ¿12 · 9 = 108? ✔ ¿12 excede en 3 a 9? ✔ Y la diagonal tiene que ser mayor que cualquiera de los lados y menor que su suma: 12 < 15 < 21 ✔
Dónde se pierde el punto: resolver x(x + 3) = 108 «igualando cada factor a 108», y quedarse con la raíz negativa sin justificar por qué se va.
Dónde se cae la mayoría
- Invertir «A excede en 3 a B» y escribir A = B − 3.
- Usar dos letras distintas para dos magnitudes que el enunciado ya relaciona.
- Quedarse con la solución negativa de la cuadrática cuando la incógnita es una longitud.
- Contestar el valor de x cuando el enunciado pedía el área, el perímetro o la diagonal.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
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