Matemática (51) · Unidad 0 — Preliminares
Fracciones y expresiones con letras
Una fracción con letras se opera igual que una con números: lo único nuevo es que ahora hay valores prohibidos, los que anulan un denominador. Y que simplificar es tachar factores, no tachar lo que se repite a la vista.
La explicación
Por qué esto decide media materia
Dominio de una función, límite, derivada de un cociente: todos terminan con una expresión racional que hay que operar y simplificar. Quien tacha mal acá arrastra el error hasta el final del ejercicio, y el error ni siquiera se ve, porque la cuenta «queda linda».
Sumar y restar: el denominador común
Dos fracciones sólo se pueden sumar si están partidas en pedazos del mismo tamaño. Por eso lo primero es el denominador común.
2. Convertí cada fracción: a cada numerador lo multiplicás por lo que le faltó a su denominador.
3. Sumá o restá sólo los numeradores; el denominador queda uno solo.
4. Recién al final fijate si se puede simplificar.
Si adelante del paréntesis hay un menos, el menos entra en todo el numerador. Es el descuido más repetido de la unidad: se distribuye sobre el primer término y se olvida el segundo.
Multiplicar, dividir y las fracciones de fracciones
Multiplicar es lo más fácil: derecho, arriba con arriba y abajo con abajo. Dividir es multiplicar por la recíproca de la de abajo, o sea la segunda dada vuelta. Y una «fracción de fracciones» es exactamente eso: la raya larga es una división.
Para no perderse, conviene resolver por separado el piso de arriba y el piso de abajo antes de dividir. Así siempre hay una sola operación entre manos.
Simplificar: se tachan factores, no términos
Simplificar es dividir arriba y abajo por lo mismo, y eso sólo es legal cuando ese «lo mismo» es un factor que multiplica a todo el numerador y a todo el denominador. Por eso el paso previo obligatorio es factorizar:
Fijate que primero apareció el (2x + 3) multiplicando arriba y abajo, y recién ahí se pudo tachar.
Lo que no se puede, y es el error que más puntos cuesta:
Ahí el 5 y la x están sumando, no multiplicando: no son factores del numerador entero. Lo que sí vale es repartir el denominador: (5 + b)/5 = 1 + b/5, que es otra cosa y casi nunca ayuda.
La prueba de los treinta segundos: poné un número y comparalo. Con b = 10: (5 + 10)/5 = 3, pero b = 10. No dan lo mismo, la simplificación estaba mal, y te enteraste sin pensar.
Cuándo la expresión no está definida
Una fracción existe siempre que su denominador no sea cero. Entonces hay que mirar todos los denominadores del enunciado, no sólo el que queda al final:
2. Sumale los divisores: si estás dividiendo por una expresión, ésa tampoco puede valer cero.
3. Esos valores quedan excluidos aunque después se simplifiquen y desaparezcan. Que un factor se tache no significa que ese valor pase a estar permitido.
El control que conviene hacer siempre
Elegí un número cualquiera que sí esté permitido —el 1 y el 2 suelen servir—, reemplazalo en la expresión original y en tu resultado, y comparalo. Si dan distinto, el error está en tu cuenta y lo encontrás en dos minutos en vez de en el parcial.
Resolver 7/10 + 1/2 − (2/5 + 1/4).
Planteo: conviene resolver primero lo de afuera del paréntesis y lo de adentro por separado, y restar al final. Así nunca hay más de dos fracciones en juego.
Los dos primeros términos. Denominador común entre 10 y 2: es 10.
Simplifiqué 12/10 dividiendo arriba y abajo por 2. Se puede porque el 2 es factor de los dos.
El paréntesis. Denominador común entre 5 y 4: es 20.
La resta final. Ahora hay que llevar 6/5 y 13/20 al mismo denominador, que es 20:
El 11 y el 20 no comparten factores, así que ya está irreducible.
Control por otro camino: en decimales, 0,7 + 0,5 = 1,2 y 0,4 + 0,25 = 0,65; la resta da 0,55, que es justo 11/20 ✔
Dónde se pierde el punto: restar sólo el primer término del paréntesis y olvidarse del segundo. El menos de adelante afecta a todo lo que está adentro.
Escribir como una sola fracción lo más simplificada posible, e indicar para qué valores de x la expresión no está definida: (2/(x−3) − 1/x) : ((x+3)/x).
Planteo: primero se resuelve la resta de arriba, que es una sola operación; recién con un solo cociente se pasa a la división. Mezclar las dos cosas es lo que vuelve ilegible el ejercicio.
La resta. Denominador común: x(x − 3), el producto de los dos que hay.
Cuidado con el menos: multiplica a todo el (x − 3), así que el numerador es 2x − x + 3 = x + 3.
La división. Dividir por (x+3)/x es multiplicar por su recíproca, x/(x+3):
Simplificar. Ahora sí: el (x + 3) y la x son factores que aparecen arriba y abajo, y se tachan.
Los valores prohibidos salen de la expresión original, no de la simplificada. Denominadores: x − 3 ≠ 0, x ≠ 0, y el divisor (x+3)/x tampoco puede ser cero, así que x ≠ −3.
Control numérico con x = 1: la original da 2/(−2) − 1 = −2, y (1+3)/1 = 4, así que −2 : 4 = −0,5. La simplificada da 1/(1−3) = −0,5 ✔
Dónde se pierde el punto: comerse el signo al distribuir el menos, y dar sólo x ≠ 3 como restricción porque es el único denominador que sobrevive al final.
Dónde se cae la mayoría
- Tachar sobre una suma: escribir (5 + b)/5 = b.
- Al restar fracciones, no distribuir el menos en todo el numerador de la segunda.
- Sumar denominadores: 1/3 + 1/6 = 1/9.
- Olvidar los valores prohibidos que desaparecen al simplificar.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
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