Matemática (51) · Unidad 0 — Preliminares
Productos notables y factoreo
Desarrollar y factorizar son el mismo camino recorrido en direcciones opuestas, y hay que saber andarlo para los dos lados: se desarrolla para operar y se factoriza para simplificar, resolver y encontrar raíces.
La explicación
Para qué sirven los dos sentidos
Desarrollar es abrir un producto en una suma: sirve para ordenar y comparar. Factorizar es lo contrario, escribir una suma como un producto, y es lo que te deja simplificar fracciones, resolver ecuaciones y leer las raíces de un polinomio de un vistazo. Casi todo el trabajo del cuatrimestre pide el segundo.
Los productos notables
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(a + b)·(a − b) = a² − b²
El término del medio, 2ab, es el que se olvida y es el que decide todo. Viene de que al multiplicar (a + b)(a + b) el a se cruza con el b dos veces.
Con números se ve en un segundo: (2 + 3)² = 25, pero 2² + 3² = 13. Faltan justo 12, que son 2·2·3. Si alguna vez dudás, reemplazá y comparás: es más rápido que pensarlo.
La diferencia de cuadrados es la única de las tres que se usa más al revés que al derecho: cada vez que veas «algo al cuadrado menos algo al cuadrado», ya está factorizado.
El procedimiento para factorizar
2. Contá los términos. Con dos, buscá diferencia de cuadrados. Con tres, probá trinomio cuadrado perfecto. Con cuatro, agrupá de a dos.
3. Factor común en grupos. Con cuatro términos, agrupá los dos primeros y los dos últimos, sacá factor común en cada grupo y, si te quedó el mismo paréntesis en los dos, sacalo como factor común otra vez.
4. Volvé a empezar con cada factor. Un factor recién obtenido puede seguir factorizándose, y el ejercicio no está terminado hasta que ninguno se pueda romper más.
Trinomio cuadrado perfecto: cómo reconocerlo
Un trinomio es un cuadrado perfecto si dos de sus términos son cuadrados y el tercero es exactamente el doble producto de sus bases:
La verificación es esa cuenta del doble producto. Si 2·x·6 no diera 12x, no sería un cuadrado perfecto y habría que factorizarlo de otra forma.
Cuando hay que combinar: el caso x⁴ − 81
Acá se ve por qué el paso 4 del procedimiento existe. Primero es una diferencia de cuadrados, porque x⁴ = (x²)² y 81 = 9²:
Y el primer factor vuelve a ser una diferencia de cuadrados:
El (x² + 9) ya no se puede: es una suma de cuadrados, y con números reales no se factoriza. Dejarla así no es dejar el ejercicio a medias, es la respuesta.
El control que conviene hacer siempre
Después de factorizar, desarrollá mentalmente o reemplazá un número. Si factorizaste P(x) = x³ + 3x² − 4x − 12 y te dio (x + 3)(x − 2)(x + 2), probá con x = 1: el original da 1 + 3 − 4 − 12 = −12, y el factorizado da 4·(−1)·3 = −12 ✔ Tarda veinte segundos y no deja pasar un error de signo.
a) Desarrollar (2x − 5)^2. b) Factorizar x^2 − 12x + 36.
a) Planteo: es un cuadrado de binomio con a = 2x y b = 5, y el signo del medio es menos. Lo importante es identificar bien quién es a: el 2 forma parte de la base y también se eleva.
Cada pieza por separado: (2x)² = 4x², el doble producto es 2·2x·5 = 20x, y 5² = 25.
Control con un número: con x = 1, el original da (2 − 5)² = 9, y el desarrollo da 4 − 20 + 25 = 9 ✔
b) Planteo: son tres términos y dos de ellos son cuadrados: x² y 36 = 6². Antes de escribir nada hay que verificar el doble producto.
Como el término del medio es exactamente el doble producto y está restando, el binomio lleva signo menos:
Control: con x = 0, el original da 36 y el factorizado da (−6)² = 36 ✔
Dónde se pierde el punto: en a), escribir 4x² + 25 y comerse el término del medio, o poner 10x en vez de 20x por olvidarse de elevar el 2. En b), elegir (x + 6)² sin mirar el signo del término del medio.
Factorizar lo más posible: a) 3x^4 − 48. b) x^3 − 5x^2 − 4x + 20.
a) Primero el factor común, siempre. El 3 divide a los dos términos, y sacarlo es lo que deja a la vista lo que viene:
Adentro quedaron dos términos y los dos son cuadrados: x⁴ = (x²)² y 16 = 4². Diferencia de cuadrados:
Y no termina ahí. El (x² − 4) es otra diferencia de cuadrados. El (x² + 4) es una suma y se queda como está.
Control con x = 1: el original da 3 − 48 = −45; el factorizado da 3·(−1)·3·5 = −45 ✔
b) Cuatro términos: se agrupa de a dos. Los dos primeros comparten x², los dos últimos comparten −4:
Sacar −4 y no 4 es lo que hace aparecer el mismo paréntesis en los dos grupos; si sacás 4, el segundo queda (−x + 5) y no se puede seguir. Ahora el (x − 5) es factor común de todo:
Control con x = 1: el original da 1 − 5 − 4 + 20 = 12; el factorizado da (−4)·(−1)·3 = 12 ✔
Dónde se pierde el punto: frenar en (x² − 4) creyendo que ya está, y equivocar el signo del factor común del segundo grupo. Si los dos paréntesis no te quedan idénticos, el error está ahí y no en la agrupación.
Dónde se cae la mayoría
- Escribir (a + b)² = a² + b²: falta el doble producto 2ab.
- Intentar factorizar una suma de cuadrados como x² + 9. En los reales no se puede.
- Sacar factor común sólo de algunos términos y no de todos.
- Frenar antes de tiempo: dejar (x² − 9) sin volver a factorizar.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Productos notables y factoreo →Los otros temas de la unidad 0
Preliminares