Matemática (51) · Unidad 0 — Preliminares
Potencias, raíces y sus propiedades
Casi todo error de cuenta del cuatrimestre nace acá: en un signo que se coló adentro de un paréntesis que no estaba, o en una raíz que alguien repartió sobre una suma. Las propiedades de la potencia no son fórmulas para memorizar, son las únicas cinco cosas que se pueden hacer.
La explicación
Para qué te va a servir esto todo el cuatrimestre
Derivar, resolver una ecuación, despejar un dominio: todo termina en una cuenta con potencias y raíces. Si esa parte no sale automática, el ejercicio se pierde en el último renglón, cuando ya habías hecho lo difícil. Por eso esta unidad va primero.
Qué dice el exponente, y dónde está el paréntesis
Un exponente natural es una multiplicación repetida: an es multiplicar a por sí mismo n veces. Lo importante es quién es esa a, y eso lo decide el paréntesis:
Sin paréntesis, la potencia se aplica sólo al número y el signo menos queda afuera, esperando el final. Con paréntesis, el signo es parte de la base y entra en la multiplicación.
De ahí sale la regla de signos, que conviene entender y no memorizar:
- Base negativa y exponente par → los menos se aparean y el resultado es positivo.
- Base negativa y exponente impar → sobra un menos suelto y el resultado es negativo.
Exponente cero, negativo y fraccionario
El exponente negativo no hace negativo al número: lo da vuelta. 2−3 es 1/8, que es positivo y chiquito. Y cuando la base ya es una fracción, lo más rápido es invertirla y cambiarle el signo al exponente: (3/4)−1 = 4/3.
El exponente fraccionario es una raíz disfrazada, y esa es la notación con la que después vas a derivar:
Conviene sacar primero la raíz y después elevar, porque los números quedan mucho más chicos: 82/3 sale mejor como (∛8)² = 2² = 4 que como ∛64.
Las propiedades: el procedimiento
2. Misma base que se divide → se restan: am : an = am−n
3. Potencia de otra potencia → se multiplican: (am)n = am·n
4. El exponente se reparte sobre un producto o un cociente: (a·b)n = an·bn
5. Y no se reparte sobre una suma. Nunca. (a + b)n ≠ an + bn.
Fijate que las cinco son la misma idea vista de costado: el exponente cuenta factores, y sumar no es multiplicar.
Radicales: qué se puede y qué no
La raíz es una potencia, así que hereda exactamente las mismas licencias:
El primero es el que se usa todo el tiempo para simplificar: se busca adentro un cuadrado perfecto y se lo saca. √50 = √(25·2) = 5√2. El último es el error más caro de la unidad: √(36 + 64) es √100 = 10, y no 6 + 8.
Racionalizar: sacarse la raíz del denominador
2. Multiplicá arriba y abajo por esa raíz. Multiplicar por √3/√3 es multiplicar por 1: no cambia el valor, cambia la forma.
3. Abajo queda √3·√3 = 3, sin raíz, y ahí simplificás lo que se pueda.
El control que conviene hacer siempre
Antes de dar el resultado, estimá. √2 es más o menos 1,4; √3 es 1,7; √10 es 3,2. Si racionalizaste 5/(2√10) y te dio algo mayor que 1, hay un error: 2√10 son más de 6, así que el resultado tiene que ser bastante menor que 1. Un decimal aproximado, hecho de memoria, detecta casi cualquier metida de pata de signo o de posición.
Calcular (−2)^4 · 2^(−3) + (1/3)^(−2).
Planteo: son tres potencias sueltas. Conviene resolver cada una por separado y recién después operar, porque cada una tiene su propia trampa.
El primer factor, (−2)⁴. La base es −2 (está entre paréntesis) y el exponente es par, así que los cuatro menos se aparean:
El segundo factor, 2⁻³. El exponente negativo invierte la base; no la vuelve negativa:
El tercer término, (1/3)⁻². Con base fracción, lo más rápido es dar vuelta la fracción y cambiarle el signo al exponente:
Se juntan las tres, respetando que el producto va antes que la suma:
Control por otro camino: 16 · 2⁻³ se puede hacer con propiedades sin pasar por fracciones, porque 16 = 2⁴: queda 2⁴ · 2⁻³ = 2¹ = 2, el mismo 2 de recién ✔
Dónde se pierde el punto: escribir (−2)⁴ = −16, o tomar 2⁻³ como −8. Son dos signos distintos y ninguno de los dos hace lo que parece.
a) Escribir como una sola potencia y calcular: ((2^(-3) · 2^5) / 2^4)^(-2). b) Simplificar (3a^2·b)^3 · a^(-4) / (9·a^3·b^2). c) Racionalizar 6/√12.
a) Primero se ordena adentro del paréntesis grande, después se aplica el exponente de afuera. Arriba hay misma base que se multiplica, así que los exponentes se suman:
Y el cociente resta: 2² : 2⁴ = 22−4 = 2⁻². Recién ahora entra el −2 de afuera, que es potencia de potencia y multiplica:
b) El exponente se reparte sobre el producto, factor por factor. Ojo con el 3, que también se eleva:
Se multiplica por a⁻⁴ (exponentes que se suman: 6 − 4 = 2) y se divide por 9a³b²:
c) Racionalizar conviene empezarlo simplificando el radical de abajo, que acá resuelve medio ejercicio: √12 = √(4·3) = 2√3.
Control numérico: √12 ≈ 3,46 y 6/3,46 ≈ 1,73, que es justo √3 ✔
Dónde se pierde el punto: en a) aplicar el −2 de afuera antes de ordenar adentro; en b) olvidarse de elevar el 3 al cubo; en c) dejar la raíz en el denominador y darlo por terminado.
Dónde se cae la mayoría
- Escribir −3² = 9: sin paréntesis el signo menos no es parte de la base.
- Creer que 2⁻³ es negativo. El exponente negativo invierte, no cambia el signo.
- Repartir la raíz sobre una suma: √(9 + 16) no es 3 + 4.
- Sumar los exponentes cuando se eleva una potencia a otra, en vez de multiplicarlos.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Potencias, raíces y sus propiedades →Los otros temas de la unidad 0
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