Matemática (51) · Unidad 3 — Función homográfica y límites
Límite en el infinito y asíntotas horizontales
Para saber a qué altura se estabiliza un cociente de polinomios cuando x se va al infinito no hace falta calcular nada: alcanza con comparar los grados de arriba y de abajo, y hay sólo tres casos posibles.
La explicación
Qué se está preguntando
Escribir limx→+∞ f(x) = L quiere decir que para valores de x cada vez más grandes, f(x) se estabiliza en L. No hay ningún punto al que acercarse: lo que se mira es el comportamiento a lo lejos.
Cuando ese límite da un número, el gráfico se acuesta contra una recta horizontal sin llegar a tocarla, y esa recta se llama asíntota horizontal. Su ecuación es
y se escribe así, como ecuación: «la asíntota es 2» no es una respuesta, porque una asíntota es una recta, no un número.
Los tres casos, comparando grados
Para un cociente de polinomios, todo se decide comparando el grado de arriba (n) con el de abajo (m):
n = m → el límite es el cociente de los coeficientes principales.
n > m → el límite es +∞ o −∞. No hay asíntota horizontal.
«Coeficiente principal» es el número que acompaña a la potencia más alta de cada polinomio, no el primero que aparece escrito. En 5 − 3x² el coeficiente principal es −3.
La lógica es una sola: el término de mayor grado le gana a todos los demás cuando x es grande. Con x = 1000, el 3x² vale 3.000.000 y el −x vale −1000: el segundo casi no se nota.
El truco que lo justifica: dividir por la potencia más alta
2. Divido cada término, arriba y abajo, por esa potencia.
3. Cada término del tipo constante/x^k se va a 0 cuando x → ∞, porque el denominador se hace enorme.
4. Lo que sobrevive es la respuesta.
Por eso en el caso n = m la respuesta es el cociente de los coeficientes principales: son lo único que no queda dividido por una potencia de x.
Los dos infinitos
x → +∞ y x → −∞ son dos preguntas distintas. En un cociente de polinomios del mismo grado dan lo mismo, así que hay una sola asíntota horizontal. Pero cuando aparecen raíces, módulos o exponenciales pueden dar distinto, y entonces hay dos asíntotas, una para cada lado.
Hallar un parámetro para que la asíntota sea la que piden
Es el ejercicio de parcial. Se calcula el límite dejando el parámetro adentro, se iguala a la altura que pide el enunciado, y se despeja. Por ejemplo, para que y = −3 sea asíntota horizontal de (a·x + 5)/(2x − 1):
Y después se reemplaza y se verifica: con a = −6 la función es (−6x + 5)/(2x − 1) y su límite en el infinito es −6/2 = −3 ✔
El control que conviene hacer siempre
Evaluá en x = 100 y en x = 1000. Si el límite te dio 3/2, la función tiene que darte algo como 1,49 y 1,4995. Si te da 0,7 o 15, la cuenta está mal y lo sabés antes de entregar. Este control detecta, en particular, el error de invertir el cociente de coeficientes.
Calcular el límite de (3x^2 - x)/(2x^2 + 5) cuando x tiende a más infinito y escribir la ecuación de la asíntota horizontal.
Planteo: es un cociente de polinomios, así que lo primero es comparar grados. Arriba hay un x² y abajo también: los dos son de grado 2.
Caso n = m. El límite es el cociente de los coeficientes principales, o sea el número que acompaña al x² de arriba sobre el que acompaña al x² de abajo:
Por qué, con el truco de dividir. Divido cada término por x², que es la potencia más alta:
Cuando x se hace enorme, 1/x y 5/x² se van a cero: el denominador los aplasta. Queda 3/2, y se ve por qué los términos de menor grado no participan.
La asíntota. Como el límite da un número, hay asíntota horizontal, y su ecuación es:
Control evaluando lejos: con x = 10 da 290/205 ≈ 1,4146; con x = 100 da ≈ 1,4946; con x = 1000 da ≈ 1,49950. Se está arrimando a 1,5 desde abajo ✔
Por el lado de −∞ el resultado es el mismo: los grados pares no distinguen el signo. Así que hay una sola asíntota horizontal, y sirve para los dos extremos.
Sea f(x) = (a x + 5)/(2x - 1). Hallar a para que la recta de ecuación y = -3 sea asíntota horizontal de f. Para ese a, dar el cero de f y decir si el gráfico cruza su asíntota.
Planteo: el parámetro no cambia el método. Calculo el límite dejando la a adentro, lo igualo a la altura que piden, y despejo.
El límite, con a adentro. Arriba y abajo son los dos de grado 1, así que es el cociente de los coeficientes principales:
El 5 y el −1 no participan: son de grado 0 y quedan aplastados.
La ecuación. Que y = −3 sea asíntota horizontal significa que el límite valga −3:
Verificación, que es parte del ejercicio. Con a = −6 la función es f(x) = (−6x + 5)/(2x − 1), y su límite en el infinito es −6/2 = −3 ✔ La condición se cumple.
El cero. Anulo el numerador: −6x + 5 = 0 → x = 5/6 ≈ 0,83.
¿Cruza la asíntota? Habría que resolver f(x) = −3:
Absurdo: no hay ningún x que lo cumpla, así que el gráfico nunca cruza y = −3. Fijate que las x se cancelaron solas, y eso es lo que pasa siempre en una homográfica: la altura de la asíntota es justo el valor que la imagen deja afuera, el mismo de 3.1.
Control evaluando lejos: f(100) = (−595)/199 ≈ −2,990 y f(1000) ≈ −2,9990. Se arrima a −3 por arriba, sin llegar ✔
Dónde se pierde el punto: despejar a/2 = −3 como a = −3/2 (invirtiendo la operación), y contestar «la asíntota es −3» en vez de escribir la ecuación y = −3.
Dónde se cae la mayoría
- Dar 0 cuando arriba y abajo tienen el mismo grado: ahí el límite es el cociente de los coeficientes principales, no cero.
- Tomar como coeficiente principal el primer número escrito y no el que acompaña a la potencia más alta.
- Contestar la asíntota con un número suelto en vez de con la ecuación de la recta, y = L.
- Decir que hay asíntota horizontal cuando el grado de arriba es mayor: ahí la función se va al infinito y no se acuesta contra nada.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Límite en el infinito y asíntotas horizontales →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — Las dos asíntotas20 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 3
Función homográfica y límites