Matemática (51) · Unidad 3 — Función homográfica y límites
Composición e inversa con homográficas
Componer es meter una función adentro de la otra, y el orden importa muchísimo; invertir es deshacer el camino, y en una homográfica eso tiene un premio: la inversa es otra homográfica, con las asíntotas intercambiadas.
La explicación
Componer: la salida de una es la entrada de la otra
(f ∘ g)(x) se lee «f compuesta con g» y significa primero g, después f. El número entra a g, sale un resultado, y ese resultado entra a f.
El orden de lectura engaña: en f ∘ g la que actúa primero es la de la derecha. Es la fuente de error número uno del tema, y no se arregla con cuidado sino con un hábito: escribir siempre la de adentro primero.
Para calcularla se reemplaza, literalmente, cada x de la fórmula de f por la expresión entera de g, entre paréntesis.
El procedimiento
2. Meto en el hueco toda la expresión de g, entre paréntesis.
3. Saco denominadores comunes y simplifico hasta que quede una sola fracción.
4. Determino el dominio, que casi nunca es el que sugiere la fórmula final.
5. Controlo con un número: elijo un x cómodo, calculo g(x), después f de eso, y comparo con lo que da mi fórmula.
El dominio de la compuesta, que es lo que se cobra
Un x sirve para f ∘ g si pasan las dos cosas: que x esté en el dominio de g, y que g(x) esté en el dominio de f. La fórmula simplificada puede esconder la primera condición.
Por ejemplo, con f(x) = 3x + 2 y g(x) = 5/(x − 1):
acá la fórmula final y el dominio coinciden: hay que sacar el 1. Pero si g hubiera dejado afuera un valor que después se simplifica, ese valor sigue afuera: la compuesta no puede existir donde no existe la función de adentro.
Invertir: deshacer el camino
f⁻¹ es la función que le devuelve a cada salida su entrada. Cumple f⁻¹(f(x)) = x y f(f⁻¹(x)) = x, y existe sólo si f es inyectiva, cosa que toda homográfica es en su dominio.
2. Paso el denominador multiplicando: y·(c·x + d) = a·x + b.
3. Distribuyo y junto de un lado todos los términos con x.
4. Saco x de factor común y la despejo.
5. Cambio los nombres: donde dice y escribo x, y eso es f⁻¹(x).
El paso 3 es el único que tiene trampa: si dejás una x de un lado y otra del otro, no se puede sacar factor común y el despeje se traba.
El hecho lindo: las asíntotas se intercambian
La inversa de una homográfica es otra homográfica. Y como invertir es espejar el gráfico respecto de la recta y = x, todo lo vertical pasa a horizontal:
f tiene asíntota horizontal y = L → f⁻¹ tiene asíntota vertical x = L
Lo mismo pasa con el dominio y la imagen: Dom(f⁻¹) = Im(f) e Im(f⁻¹) = Dom(f). Son la misma afirmación dicha de dos maneras.
El control que conviene hacer siempre
Después de invertir, tomá un x cómodo y calculá f de él. Metele ese resultado a f⁻¹: tiene que volver el x original. Si no vuelve, el despeje está mal y lo vas a saber en diez segundos. Y para la compuesta, comparar los dos caminos con un número concreto atrapa casi todos los errores de reemplazo.
Sean f(x) = 3x + 2 y g(x) = 5/(x − 1). Hallar f∘g y g∘f con sus dominios.
Planteo: son dos cuentas distintas, no una sola dada vuelta. Las hago por separado y al final las comparo para convencerme de que dieron cosas diferentes.
f ∘ g: primero g. Reemplazo cada x de f por toda la expresión de g:
Lo junto en una sola fracción con denominador común x − 1:
El dominio: g necesita x ≠ 1, y f acepta cualquier cosa. Entonces Dom(f ∘ g) = ℝ − {1}.
g ∘ f: primero f. Ahora reemplazo la x de g por 3x + 2:
El dominio: f acepta todo, pero g pide que su entrada no sea 1, o sea 3x + 2 ≠ 1, o sea x ≠ −1/3. Y eso es justo lo que anula el denominador que quedó. Dom(g ∘ f) = ℝ − {−1/3}.
Control con un número. Tomo x = 6. Por el camino largo: g(6) = 5/5 = 1, y f(1) = 5. Por la fórmula: (2·6 + 13)/(6 − 1) = 25/5 = 5 ✔
Y al revés, con x = 2: f(2) = 8, g(8) = 5/7. Por la fórmula: 5/(6 + 1) = 5/7 ✔
Las dos compuestas son funciones completamente distintas, incluso con dominios distintos. Eso es lo que quiere decir que la composición no es conmutativa.
Sea f(x) = (x + 4)/(x − 2). Hallar f inversa, dar dominio e imagen de las dos funciones, y las ecuaciones de sus asíntotas.
Planteo: primero estudio f, después la invierto, y al final uso lo primero para controlar lo segundo: las asíntotas tienen que quedar cruzadas.
f, antes de invertir. El denominador se anula en x = 2, y el cociente de los coeficientes de la x es 1/1 = 1:
asíntota vertical x = 2 · asíntota horizontal y = 1
El despeje. Escribo y = (x + 4)/(x − 2) y paso el denominador multiplicando:
Ahora el paso que decide todo: junto de un lado los dos términos que tienen x y del otro los que no.
Cambio los nombres y listo:
La inversa también es homográfica. Su denominador se anula en 1 y sus coeficientes de x dan 2/1 = 2:
asíntota vertical x = 1 · asíntota horizontal y = 2
Control, y es el bueno: f tenía vertical en 2 y horizontal en 1; la inversa tiene vertical en 1 y horizontal en 2. Se intercambiaron, como tenía que pasar. Además Dom(f⁻¹) = Im(f) ✔
Control numérico: f(6) = 10/4 = 5/2. Y f⁻¹(5/2) = (5 + 4)/(3/2) = 9·2/3 = 6 ✔ Volvió el 6.
Dónde se pierde el punto: en el paso del factor común. Si dejás x·y de un lado y x del otro, el despeje no sale, y si olvidás el paréntesis en x·(y − 1) te queda una inversa que no verifica el control numérico.
Dónde se cae la mayoría
- Calcular g∘f cuando pedían f∘g: en f∘g la que actúa primero es g, la de la derecha.
- Reemplazar sólo una de las x de f, o meter la expresión de g sin paréntesis.
- Dar el dominio de la compuesta leyendo la fórmula simplificada y olvidarse de lo que la función de adentro ya dejaba afuera.
- Al invertir, dejar términos con x de los dos lados del igual y no poder sacar factor común.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Composición e inversa con homográficas →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — Componer y volver atrás20 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 3
Función homográfica y límites