Matemática (51) · Unidad 3 — Función homográfica y límites
La idea de límite y los límites laterales
El límite no pregunta cuánto vale la función en un punto: pregunta a qué número se están arrimando los valores de f cuando x se acerca. Son dos preguntas distintas y la diferencia entre las dos es medio tema de la materia.
La explicación
Qué pregunta el límite y qué no
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quiere decir: si x se acerca a x0 sin llegar nunca, los valores de f(x) se acercan a L. Y el «sin llegar nunca» no es un detalle de redacción: el límite por definición no mira lo que pasa en x0. Mira lo que pasa alrededor.
De ahí salen las tres situaciones que hay que poder distinguir:
- f está definida en x0 y el límite coincide con f(x0). Es el caso cómodo, y es lo que después se va a llamar continuidad.
- f está definida en x0 pero el límite da otro número. El límite gana: la respuesta es el número al que se arrima, no el valor aislado.
- f no está definida en x0 y el límite igual existe. Es el caso más frecuente en los ejercicios, y el que hace que el tema tenga sentido.
Los límites laterales
A un punto de la recta se puede llegar por dos lados, y no siempre pasa lo mismo:
limx→x0⁺ f(x) : acercándose por derecha, con valores mayores que x0
Y entonces el resultado central del tema:
Si dan distinto, el límite no existe. Y «no existe» es una respuesta completa y correcta: no hay que inventar un número intermedio ni promediarlos.
Leer límites de un gráfico
2. Miro a qué altura apunta el dedo cuando está por llegar. Esa altura es el lateral por izquierda.
3. Repito desde la derecha.
4. Si las dos alturas coinciden, ése es el límite. Si no, el límite no existe.
5. El valor f(x0) se lee aparte: es el punto lleno, si lo hay. Un punto hueco marca que ahí la función no está definida y no cambia el límite.
El caso 0/0, que es el que se toma
Si al reemplazar te queda 0/0, eso no es el resultado: es un aviso de que arriba y abajo comparten un factor que se puede cancelar. La cuenta se salva factorizando.
x² − 9 = (x − 3)(x + 3) → (x − 3)(x + 3)/(x − 3) = x + 3
limx→3 (x + 3) = 6
La simplificación es legítima justamente porque x nunca es 3: se acerca. Y como x − 3 no vale cero, dividir por él está permitido. En x = 3 la función original no existe; el límite, sí, y vale 6.
Las dos herramientas para factorizar son la diferencia de cuadrados (a² − b² = (a+b)(a−b)) y la fórmula resolvente, que convierte a·x² + b·x + c en a·(x − x₁)(x − x₂).
El control que conviene hacer siempre
Cuando te dio un número, comprobalo evaluando cerca. Para el ejemplo de arriba: f(2,9) = 5,9, f(2,99) = 5,99, f(2,999) = 5,999. Se están arrimando a 6, y desde el otro lado f(3,001) = 6,001. Si tu cuenta dio otro número, esta tabla lo desmiente en treinta segundos.
Calcular el límite de (x^2 + x - 6)/(x - 2) cuando x tiende a 2.
Planteo: lo primero es siempre reemplazar, aunque sepa que va a fallar, porque el resultado de esa cuenta me dice qué tipo de problema tengo.
Qué significa ese 0/0. Que el 2 anula los dos, o sea que los dos tienen a (x − 2) como factor. No es un resultado, es un diagnóstico.
Factorizo el numerador. Busco dos números que sumen 1 y multipliquen −6: son 3 y −2.
Simplifico. Como x se acerca a 2 pero nunca vale 2, el factor x − 2 no es cero y puedo dividir por él:
Ahora sí reemplazo, porque x + 3 no tiene ningún problema en 2:
Control evaluando cerca: con 2,1 da 5,1; con 2,01 da 5,01; con 2,001 da 5,001. Y desde el otro lado, con 1,999 da 4,999. Los dos lados apuntan al 5 ✔
Fijate que la función original no está definida en x = 2, y el límite igual existe y vale 5. Son preguntas distintas.
Sea f la función que vale (x^2 - 4)/(x - 2) para x < 2, y vale 3x - 5 para x >= 2. Calcular los dos límites laterales en x_0 = 2, decidir si existe el límite, y compararlo con f(2).
Planteo: la función está partida en 2, así que cada lado se calcula con su propia fórmula. No hay una sola cuenta: hay dos, y recién al final se comparan.
Lateral por izquierda. Para x < 2 manda la primera fórmula. Al reemplazar da 0/0, así que factorizo:
Comprobación numérica por ese lado: con 1,9 da 3,9 y con 1,99 da 3,99. Se arrima a 4 ✔
Lateral por derecha. Para x > 2 manda 3x − 5, que no tiene ningún problema en 2:
¿Existe el límite? Los dos laterales existen, pero dan 4 y 1. Como no coinciden:
Y eso es una respuesta completa. No se promedian, no se elige el más grande, no se inventa un valor intermedio: el gráfico pega un salto de 3 unidades justo ahí.
El valor f(2). El enunciado dice que para x ≥ 2 vale 3x − 5, y el 2 está incluido en ese lado, así que f(2) = 1.
Lo que hay que ver acá: f(2) existe y vale 1, pero el límite no existe. Que la función esté definida en el punto no garantiza nada sobre el límite, y viceversa. Son dos preguntas independientes.
Dónde se pierde el punto: usar la fórmula equivocada de cada lado —es tentador reemplazar el 2 en la primera, que es donde el 2 aparece escrito— y contestar «el límite es 1» porque es el valor de la función.
Dónde se cae la mayoría
- Contestar f(x_0) cuando preguntan el límite: son dos cosas distintas y pueden dar diferente.
- Dar 0/0 como resultado. 0/0 no es un número: es la señal de que hay que factorizar y simplificar.
- Decir que el límite existe cuando los dos laterales dan distinto, o promediarlos.
- Al leer un gráfico, tomar el valor del punto hueco como si fuera el límite del otro lado.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar La idea de límite y los límites laterales →Los otros temas de la unidad 3
Función homográfica y límites