Matemática (51) · Unidad 4 — Exponenciales, logaritmos y trigonométricas
Seno y coseno: amplitud, período e imagen
En f(x) = A·sen(Bx + C) + D cada letra hace una cosa sola y no se mezcla con las otras. Si sabés cuál es cuál, la imagen, el período, el máximo y el mínimo salen leyendo, sin graficar ni hacer una cuenta.
La explicación
Para qué sirven: lo que se repite
El seno y el coseno son las funciones de lo que vuelve al mismo lugar: una rueda que gira, una cuerda que vibra, las horas de luz a lo largo del año. Su rasgo definitorio es que son periódicas: se repiten cada 2π, porque después de una vuelta completa a la circunferencia se vuelve al mismo punto.
Los dos tienen dominio ℝ e imagen [−1, 1]: por más grande que sea el ángulo, el seno nunca pasa de 1 ni baja de −1. Esa cota es de donde sale todo lo demás.
Los valores que hay que saber de memoria
sen(x): 0 1/2 √2/2 √3/2 1 0
cos(x): 1 √3/2 √2/2 1/2 0 −1
Truco para no memorizarla al revés: en la fila del seno los numeradores van 0, 1, √2, √3, 2 sobre 2 (o sea 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1), y la del coseno es la misma leída de atrás para adelante. Con eso se reconstruye en diez segundos en el parcial.
Para los ángulos de los otros cuadrantes se usa el signo y el ángulo de referencia: sen(5π/6) = sen(π/6) = 1/2 (el seno es positivo en el segundo cuadrante), y cos(5π/6) = −cos(π/6) = −√3/2 (el coseno es negativo ahí).
Qué hace cada letra en A·sen(Bx + C) + D
- A — amplitud. Estira verticalmente. La curva se despega |A| unidades hacia arriba y hacia abajo del centro. Si A < 0, además la da vuelta: donde había máximo hay mínimo.
- B — frecuencia. Comprime horizontalmente. El período pasa a ser 2π/B. Con B = 2 entran dos ondas donde antes entraba una.
- C — fase. Corre la curva de costado. No afecta a la imagen, ni al período, ni al máximo: sólo cambia dónde ocurren.
- D — desplazamiento vertical. Sube o baja todo, y con eso sube o baja el centro de la oscilación.
El procedimiento para la imagen
2. Multiplicá por A. Si A es negativo, la desigualdad se da vuelta y los extremos se intercambian.
3. Sumá D a los tres miembros.
4. Lo que queda es la imagen, con corchetes: a diferencia de la exponencial, acá los extremos sí se alcanzan.
Dónde se alcanzan el máximo y el mínimo
El valor sale de la fórmula de arriba; el lugar hay que despejarlo. Si A > 0, el máximo está donde el seno vale 1:
y de ahí se despeja x. Para el coseno, el máximo está donde cos = 1, o sea Bx + C = 0 + 2kπ. Si A es negativo se invierte todo: el máximo de f pasa a estar donde el seno vale −1.
Hallar un parámetro desde la imagen
Si te piden «hallar k para que Im f = [−2, 8]» en f(x) = 5·cos(x) + k, no despejes nada complicado: la imagen es siempre [k − 5, k + 5], así que igualás los extremos. De k − 5 = −2 sale k = 3, y de k + 5 = 8 sale k = 3 también. Que las dos ecuaciones den lo mismo es el control: si dieran distinto, la amplitud no coincidía con el largo del intervalo pedido, y el problema directamente no tendría solución. Acá cierra: el intervalo mide 10 y 2|A| también.
El control que conviene hacer siempre
El intervalo imagen tiene que medir exactamente 2|A| de largo. Si la amplitud es 3 y te dio una imagen de largo 4, hay un error sin necesidad de revisar la cuenta. Y el centro del intervalo tiene que ser D.
Hallar la imagen de f(x) = 2·cos(x) + 5, su valor máximo y su valor mínimo, e indicar en qué puntos del intervalo [0, 2π] se alcanzan.
Planteo: identifico las letras. A = 2 (amplitud), D = 5 (centro). No hay ni B distinto de 1 ni fase, así que el período sigue siendo 2π.
La imagen, paso a paso desde lo único fijo:
−2 ≤ 2cos(x) ≤ 2 (multiplico por 2, que es positivo: no se da vuelta nada)
3 ≤ 2cos(x) + 5 ≤ 7 (sumo 5 en los tres miembros)
Van corchetes: el coseno alcanza el 1 y el −1 de verdad, así que esos valores se tocan.
Dónde se alcanza el máximo. El máximo de f está donde el coseno vale 1, y eso pasa en x = 0 (y de nuevo en 2π, tras una vuelta completa):
Dónde se alcanza el mínimo. Donde el coseno vale −1, o sea en x = π:
Control: el intervalo imagen tiene que medir 2|A| = 4 de largo, y [3, 7] mide exactamente 4 ✔. Y su centro, (3+7)/2 = 5, tiene que ser D, y lo es ✔
Dónde se pierde el punto: contestar sólo los valores 7 y 3 sin decir dónde se alcanzan. El enunciado pide las dos cosas.
Sea f(x) = −3·sen(2x) + 1. Hallar la amplitud, el período y la imagen. Dar además un valor de x del intervalo [0, 2π] donde f alcance su máximo.
Planteo: A = −3, B = 2, D = 1. Hay dos vueltas de tuerca: el coeficiente es negativo (la curva está dada vuelta) y B ≠ 1 (la onda está comprimida).
Amplitud. Es el módulo: |A| = 3. El signo no cambia cuánto se despega la curva del centro, sólo hacia dónde arranca.
Período.
Entran dos ondas completas en [0, 2π], que antes alcanzaba justo para una.
Imagen. Acá está el paso delicado: al multiplicar por −3 la desigualdad se da vuelta.
3 ≥ −3sen(2x) ≥ −3 ⟹ −3 ≤ −3sen(2x) ≤ 3
−2 ≤ −3sen(2x) + 1 ≤ 4
Fijate que la imagen salió igual que si A hubiera sido +3: el signo no la cambia. Lo que sí cambia es dónde está cada extremo.
Dónde está el máximo. Como f = −3sen(2x) + 1 y el coeficiente es negativo, f es máxima donde el seno es mínimo, o sea donde vale −1:
En [0, 2π] eso da x = 3π/4 y x = 7π/4. Cualquiera de los dos sirve como respuesta.
Control: f(3π/4) = −3·sen(3π/2) + 1 = −3·(−1) + 1 = 4 ✔. Y el largo de la imagen es 2|A| = 6, y [−2, 4] mide 6 ✔
Dónde se pierde el punto: buscar el máximo donde el seno vale 1 sin mirar el signo de A. Ese camino da x = π/4, y ahí f vale −2, que es el mínimo.
Dónde se cae la mayoría
- Creer que el desplazamiento de fase (el C) cambia la imagen o el máximo. Sólo cambia dónde se alcanzan.
- Dar la imagen con paréntesis. El seno alcanza el 1 y el −1 de verdad, así que van corchetes.
- Calcular el período como 2πB en vez de 2π/B: si B es grande, la onda se comprime y el período se achica.
- Con A negativo, buscar el máximo donde el seno vale 1: al dar vuelta la curva, el máximo queda donde el seno vale −1.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Seno y coseno: amplitud, período e imagen →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — Coseno: imagen y todas las soluciones20 puntos · resuelto paso a paso
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