Matemática (51) · Unidad 4 — Exponenciales, logaritmos y trigonométricas
El logaritmo y sus propiedades
El logaritmo no es una cuenta rara: es la pregunta «¿a qué exponente?». Todo lo que te cuesta memorizar de sus propiedades es, en realidad, una propiedad de las potencias mirada al revés.
La explicación
Para qué sirve: despejar un exponente
Si tenés 2x = 8, la x sale mirando: es 3. Pero si tenés 2x = 10, no hay ningún truco algebraico que la despeje, porque la x está arriba y no se puede pasar dividiendo. Hace falta una operación nueva, y ésa es el logaritmo.
Leelo siempre en voz alta así: loga(b) es «a qué exponente hay que elevar a para obtener b». Con esa frase salen todos los logaritmos de memoria sin memorizar nada: log2(32) es 5 porque 25 = 32; log10(1000) es 3 porque 10³ = 1000; log7(1) es 0 porque cualquier cosa a la 0 da 1.
Las dos notaciones abreviadas
log(x) = log10(x) (sin subíndice, base 10)
En este curso el que más aparece es ln, porque es el que deshace a ex.
Son funciones inversas, y eso se usa todo el tiempo
La exponencial toma un exponente y devuelve una potencia; el logaritmo toma una potencia y devuelve el exponente. Una deshace a la otra:
Que sean inversas tiene una consecuencia geométrica: sus gráficos son simétricos respecto de la recta y = x. Y una consecuencia aritmética: dominio e imagen se intercambian.
Fijate el cambio de eje: la exponencial tenía asíntota horizontal, el logaritmo la tiene vertical. Y no hay logaritmo de números negativos ni del cero, porque ninguna potencia de una base positiva da negativa ni da cero. Ahí nace la restricción de dominio que se pide en la mitad de los ejercicios de esta unidad.
Las cuatro propiedades
loga(x/y) = loga(x) − loga(y)
loga(xn) = n·loga(x)
loga(b) = ln(b) / ln(a) (cambio de base)
Las tres primeras son las propiedades de las potencias dadas vuelta: multiplicar potencias es sumar exponentes, dividirlas es restarlos, elevar una potencia es multiplicar exponentes. La cuarta sirve para calcular en la calculadora un logaritmo de base rara, que sólo tiene las teclas ln y log.
El procedimiento en los dos sentidos
Para juntar varios en uno solo (es lo que hace falta para resolver ecuaciones): al revés. Primero subís los coeficientes como exponentes, porque la propiedad del producto exige que no haya nada multiplicando adelante; recién ahí unís con producto y cociente.
Ejemplo: 2ln(x) + ln(3) − ln(x) se convierte en ln(x²) + ln(3) − ln(x) = ln(3x²/x) = ln(3x).
El error que hay que tener marcado a fuego
El logaritmo no se reparte sobre una suma:
La propiedad es del producto, no de la suma. Y se refuta en una línea: con x = y = 1, la izquierda da ln(2) ≈ 0,69 y la derecha da 0 + 0 = 0. ln(x + y) no se puede separar de ninguna manera: se deja como está.
El control que conviene hacer siempre
Después de aplicar propiedades, probá con un número concreto y amigable. Si escribiste log2(x·y) = log2(x) + log2(y), tomá x = 4 e y = 8: la izquierda es log2(32) = 5 y la derecha 2 + 3 = 5 ✔. Un solo ejemplo no demuestra nada, pero alcanza para tirar abajo una propiedad inventada, que es para lo que lo usás.
Calcular, usando la definición: log_2(64), log_5(1/25) y ln(e^7).
Planteo: ninguno de los tres se hace con calculadora. Los tres se contestan con la misma pregunta: «¿a qué exponente hay que elevar la base para llegar a ese número?».
log2(64). Voy subiendo potencias de 2: 2, 4, 8, 16, 32, 64. Llegué en seis pasos:
log5(1/25). Acá hay una fracción, y eso es señal de exponente negativo. 5² = 25, así que 5−2 = 1/25:
Ojo con la lectura: el resultado es negativo, pero el argumento (1/25) es positivo. Un logaritmo puede dar negativo sin problema; lo que no puede es tener argumento negativo.
ln(e7). Este sale sin pensar, porque ln y e son inversas:
Control: se verifica cada uno volviendo a la definición, que es el segundo camino que siempre está disponible. 26 = 64 ✔, 5−2 = 1/5² = 1/25 ✔, e7 = e7 ✔.
Dónde se pierde el punto: contestar 32 en el primero (que es 25, un escalón de menos) y poner +2 en el segundo, olvidando que la fracción invierte el signo del exponente.
a) Calcular log_3(5) + log_3(18) − log_3(10) sin calculadora. b) Escribir 3·ln(x) + ln(y) − 2·ln(z) como un único logaritmo. c) Decidir si es cierto que ln(a + b) = ln(a) + ln(b) para todo a, b positivos.
a) Planteo: los tres logaritmos tienen la misma base, y eso es lo que habilita a juntarlos. Sumas se convierten en producto y restas en cociente:
Y log3(9) = 2, porque 3² = 9. Fijate el truco: la cuenta 5·18/10 se hace adentro del logaritmo, y recién al final se evalúa. Si intentabas calcular cada logaritmo por separado te salían tres números feos que después se cancelaban.
b) Planteo: acá hay coeficientes adelante, y eso bloquea la propiedad del producto. Primero suben como exponentes:
Y ahora sí se juntan: lo que suma va al numerador y lo que resta al denominador.
c) Es falso, y alcanza un contraejemplo para tirarlo abajo. Con a = b = 1:
Son distintos, así que la igualdad no vale. La propiedad verdadera es la del producto: ln(a·b) = ln(a) + ln(b).
Control de a) por un segundo camino: si log3(9) = 2, entonces 3² tiene que dar 9 ✔. Control de b): desarmá el resultado y tenés que volver al principio: ln(x³y/z²) = ln(x³) + ln(y) − ln(z²) = 3ln(x) + ln(y) − 2ln(z) ✔
Dónde se pierde el punto: en b), escribir ln(3x·y/2z) por haber dejado los coeficientes multiplicando en vez de subirlos como exponentes.
Dónde se cae la mayoría
- Repartir el logaritmo sobre una suma: escribir ln(x + 3) = ln(x) + ln(3). La propiedad es del producto.
- Juntar 2·ln(x) + ln(3) como ln(2x·3) sin subir antes el 2 como exponente.
- Aceptar un logaritmo de un número negativo o de cero como si fuera válido: no existen.
- Confundir log(x) con log_2(x): sin subíndice la base es 10, y en la calculadora la tecla ln es la de base e.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar El logaritmo y sus propiedades →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — La exponencial completa20 puntos · resuelto paso a paso
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