Matemática (51) · Unidad 4 — Exponenciales, logaritmos y trigonométricas

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Hay una sola idea: dejar la exponencial (o el logaritmo) sola de un lado y recién ahí aplicarle su inversa. Y una obligación que no es opcional: verificar en la ecuación original, porque juntar logaritmos fabrica soluciones que no existen.

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La explicación

Para qué sirve y cuál es la estrategia

La incógnita está atrapada: o arriba, en un exponente, o adentro de un logaritmo. En los dos casos la estrategia es la misma en dos movimientos: despejar hasta dejar sola la exponencial o el logaritmo, y recién entonces aplicar la operación que la deshace.

e^algo = b ⟹ algo = ln(b) (sólo si b > 0)
ln(algo) = c ⟹ algo = e^c

Lo que no se puede hacer es aplicar el logaritmo mientras la exponencial esté acompañada. En 5e^x = 20, tomar ln de los dos lados da ln(5e^x) = ln(20), que todavía tiene un ln(5) dando vueltas. Primero se divide por 5, después se toma logaritmo.

Caso 1: igualar bases

Cuando los dos lados se pueden escribir como potencias de la misma base, no hace falta ningún logaritmo: si a^m = aⁿ entonces m = n.

2^x+1 = 32 = 2⁵ ⟹ x + 1 = 5 ⟹ x = 4

Conviene mirar esto primero: si las bases se igualan, la solución sale entera y sin logaritmos.

Caso 2: tomar logaritmo

1. Dejá sola la exponencial: pasá sumas y restas, después productos y cocientes.
2. Mirá el número que quedó del otro lado. Si es negativo o cero, la ecuación no tiene solución y terminaste: una exponencial nunca vale eso.
3. Tomá ln de los dos lados. El exponente baja entero.
4. Despejá la x de lo que era el exponente, que es una ecuación lineal común.

Caso 3: ecuaciones logarítmicas — y la verificación obligatoria

1. Juntá todos los logaritmos en uno solo con las propiedades (subiendo primero los coeficientes).
2. Dejá el logaritmo solo de un lado.
3. Exponenciá: de ln(A) = c pasás a A = e^c. Si de los dos lados quedó un logaritmo de la misma base, directamente igualás los argumentos.
4. Reemplazá cada solución en la ecuación ORIGINAL y descartá las que dejen un logaritmo de un número negativo o de cero.

Por qué el paso 4 no se saltea. Al juntar ln(x) + ln(x − 3) en ln(x·(x − 3)) el dominio se agranda sin avisar: el producto x(x−3) es positivo también cuando los dos factores son negativos, y ahí ln(x) por separado no existía. La ecuación juntada tiene soluciones que la original no tiene. No son errores de cuenta: son soluciones extrañas, y descartarlas es parte del ejercicio, no un detalle.

Caso 4: sustitución

Cuando aparecen e^2x y e^x en la misma ecuación, hay una cuadrática escondida. La clave es ver que e^2x = (e^x)²:

e^2x − 3e^x + 2 = 0 → con u = e^x → u² − 3u + 2 = 0

Sale u = 1 y u = 2 con la resolvente. Y falta lo que más se olvida: volver a la x. e^x = 1 da x = 0, y e^x = 2 da x = ln(2). Si alguna u hubiera dado negativa, esa rama se descarta, porque e^x no toma valores negativos.

El otro caso que aparece es el factor común: en e^2x − 3e^x = 0 conviene sacar e^x(e^x − 3) = 0. Como e^x nunca es 0, la única posibilidad es e^x = 3.

El control que conviene hacer siempre

Reemplazá la solución en la ecuación original, no en la última línea que escribiste. Es el único control que detecta las dos fallas típicas de este tema: las soluciones extrañas de las logarítmicas y los errores de signo al bajar exponentes. Y es rápido, porque suelen quedar cuentas como e^{ln 3} = 3 que se cancelan solas.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Resolver 7e^(2x) − 21 = 0.

Planteo: la incógnita está en el exponente, así que el plan es dejar sola a la exponencial y después tomar logaritmo natural.

Paso 1: dejar sola la exponencial. Primero pasa el 21 sumando, después el 7 dividiendo (está multiplicando, no sumando):

7e^2x = 21 ⟹ e^2x = 3

Paso 2: controlar el signo. Del otro lado quedó 3, que es positivo. Si hubiera quedado un número negativo o cero, acá se terminaba el ejercicio con «no tiene solución».

Paso 3: tomar logaritmo. Aplico ln a los dos lados; como ln y e se deshacen, del lado izquierdo baja el exponente entero:

2x = ln(3) ⟹ x = ln(3)/2 ≈ 0,55

Fijate que baja todo el exponente, el 2x completo, y recién después se divide por 2. Bajar sólo la x es el error más frecuente de este paso.

Control en la ecuación original:

7·e^2·(ln3/2) − 21 = 7·e^{ln 3} − 21 = 7·3 − 21 = 0 ✔

El 2 del exponente se cancela con el 2 del denominador y queda e^{ln 3}, que es exactamente 3. Ese tipo de cancelación es la señal de que el despeje estuvo bien.

Dónde se pierde el punto: pasar el 7 restando y llegar a e^2x = 14, o escribir x = ln(3) olvidando dividir por 2. La verificación detecta las dos.

Y uno del nivel del parcial

Resolver ln(x) + ln(x − 3) = ln(10), verificando las soluciones obtenidas.

Planteo: hay dos logaritmos sumando del mismo lado, así que primero se juntan en uno solo, y como del otro lado también queda un logaritmo de la misma base, después se igualan los argumentos.

Paso 1: juntar. Suma de logaritmos es logaritmo del producto:

ln( x·(x − 3) ) = ln(10)

Paso 2: igualar argumentos. Si dos logaritmos de la misma base son iguales, sus argumentos son iguales:

x(x − 3) = 10 ⟹ x² − 3x − 10 = 0

Paso 3: resolver la cuadrática. Con la resolvente (o factorizando, porque −5 y +2 multiplican −10 y suman −3 cambiados de signo):

x² − 3x − 10 = (x − 5)(x + 2) ⟹ x = 5 o x = −2

Paso 4: verificar en la ORIGINAL. Éste es el paso que define el ejercicio, y no se puede saltear.

x = 5: ln(5) + ln(2) = ln(10) ✔. Es solución.
x = −2: la ecuación original pide ln(−2), que no existe. Se descarta.

S = {5}

Por qué apareció el −2. No es un error de cuenta. Al escribir ln(x) + ln(x−3) como ln(x(x−3)) el dominio se agrandó: el producto x(x−3) también es positivo cuando los dos factores son negativos, y ahí los logaritmos sueltos no existían. El −2 es solución de la ecuación juntada, no de la original.

Control alternativo, sin reemplazar: el dominio de la ecuación original es x > 0 y x > 3, o sea x > 3. El −2 ni siquiera está en el dominio, así que cae por ahí también ✔

Dónde se pierde el punto: contestar S = {5, −2}. La cuenta está bien y el ejercicio igual se cae, porque lo que se evalúa es justamente el descarte.

Dónde se cae la mayoría

Tomar logaritmo con la exponencial todavía acompañada: en 5e^x = 20 hay que dividir por 5 primero.
Dar por buena una solución de una ecuación logarítmica sin reemplazarla en la original: al juntar logaritmos aparecen soluciones que no están en el dominio.
En una sustitución, contestar el valor de u y no el de x. Si u = e^x = 2, la respuesta es ln(2), no 2.
Escribir e^x = −4 y seguir despejando: una exponencial nunca da negativo, así que ahí la ecuación no tiene solución.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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