Matemática (51) · Unidad 4 — Exponenciales, logaritmos y trigonométricas
Dominio, imagen, asíntotas e inversa
Éste es el ejercicio que más se toma de la unidad, y siempre pide lo mismo. Si lo hacés en el orden correcto, cada ítem te regala el siguiente: la asíntota da la imagen, la imagen dice si hay ceros, y el dominio y la imagen de f son la imagen y el dominio de su inversa.
La explicación
Para qué sirve: un solo procedimiento para todo el ejercicio
Las funciones que aparecen son de dos familias, y cada una es el reflejo de la otra:
f(x) = a·ln(bx + c) + d (logarítmica: asíntota vertical)
Lo que se pide es siempre el mismo paquete: dominio, imagen, ceros, C+, C−, asíntota e inversa. No hay que resolverlo por partes sueltas: hay un orden en el que cada respuesta alimenta a la siguiente.
La familia exponencial
2. Asíntota horizontal: el pedazo exponencial tiende a 0, así que queda y = k.
3. Imagen: si c > 0, la curva va por arriba: (k, +∞). Si c < 0, cuelga por abajo: (−∞, k).
4. Ceros: mirá si 0 está en la imagen. Si no está, no hay ceros y listo. Si está, despejás.
5. Signos: con el cero y sabiendo si crece o decrece, los dos conjuntos salen solos.
La familia logarítmica
2. Asíntota vertical: es el borde del dominio, la recta x = (el número donde el argumento se hace cero).
3. Imagen: siempre ℝ. Un logaritmo, estirado y corrido como esté, sigue llegando a todos los reales.
4. Ceros: como la imagen es ℝ, siempre hay uno. Se despeja pasando a exponencial.
5. Signos: a un lado del cero es positiva y al otro negativa, pero sin salirse del dominio: C− arranca en la asíntota, no en −∞.
Ese último detalle es el que más puntos cuesta. Si Dom f = (3, +∞) y el cero está en 4, entonces C− = (3, 4) y no (−∞, 4): afuera del dominio la función ni siquiera existe, así que no puede ser negativa.
La inversa: el método
2. Despejá x en función de y, desarmando la función de afuera hacia adentro.
3. Intercambiá los nombres: lo que quedó es f−1(x).
4. Y el regalo: Dom(f−1) = Im(f) y Im(f−1) = Dom(f). No se recalculan, se copian cruzados.
Ejemplo: de y = 2ex−1 − 6 sale ex−1 = (y+6)/2, después x − 1 = ln((y+6)/2) y finalmente x = 1 + ln((y+6)/2). Como Im f = (−6, +∞) y Dom f = ℝ, la inversa tiene dominio (−6, +∞) e imagen ℝ. Y fijate que eso es coherente por sí solo: el argumento del logaritmo, (x+6)/2, es positivo justamente cuando x > −6.
Hallar un parámetro desde la imagen
Un pedido típico es «hallar b para que Im f = (−4, +∞)». No hay que despejar nada complicado: la imagen de c·emx+n + b es siempre (b, +∞) cuando c > 0, así que b es directamente el extremo del intervalo que te piden. Lo mismo con las trigonométricas más adelante.
El control que conviene hacer siempre
Dos controles baratos y que atrapan casi todo. El primero: componé. Si f−1 está bien, f(f−1(x)) tiene que dar x; con un solo valor cómodo alcanza. El segundo: mirá el argumento del logaritmo de la inversa. Si te dio f−1(x) = ln(x + 7)/3 y habías dicho que Im f = (−2, +∞), algo está mal: el logaritmo pide x > −7, no x > −2, y esos dos números tienen que coincidir.
Dada f(x) = ln(2x − 6) + 1, hallar dominio, asíntota vertical, imagen, cero y conjuntos de positividad y de negatividad.
Planteo: es logarítmica, así que lo primero de todo es el dominio; todas las demás respuestas van a tener que caber adentro de él.
Dominio. El argumento tiene que ser estrictamente positivo:
Asíntota vertical. Es el borde del dominio, el valor donde el argumento se hace cero:
Imagen. Un logaritmo llega a todos los reales, y ni estirarlo ni subirlo una unidad cambia eso: Im f = ℝ. Y como 0 ∈ ℝ, seguro hay un cero.
Cero. Dejo el logaritmo solo y paso a exponencial:
Signos. Acá está el detalle que define el ejercicio: la función existe sólo a la derecha del 3, así que el conjunto de negatividad no puede empezar en −∞:
Control: reemplazo el cero: ln(2(3 + e−1/2) − 6) + 1 = ln(e−1) + 1 = −1 + 1 = 0 ✔. Y un segundo control con un punto cualquiera del intervalo chico: f(3,1) = ln(0,2) + 1 ≈ −1,61 + 1 ≈ −0,61, negativo, como tenía que ser ✔
Dónde se pierde el punto: escribir C− = (−∞ ; 3,18). Afuera del dominio la función no existe, así que ahí no hay signo que valga.
Sea f(x) = 6 − e^(5x+10). Hallar el dominio, la imagen, el cero, la asíntota horizontal y la función inversa, dando el dominio y la imagen de la inversa.
Planteo: es exponencial, pero con un signo menos adelante, y ese signo cambia de qué lado de la asíntota vive la curva. Conviene leerla como 6 menos algo siempre positivo.
Dominio: ℝ, sin nada que plantear.
Asíntota horizontal: cuando x → −∞ el pedazo e5x+10 se va a 0, así que f se acerca a 6 − 0:
Imagen: como e5x+10 > 0 siempre, a 6 se le está restando siempre algo positivo. Entonces f siempre da menos que 6:
Ése es el efecto del signo menos: la curva cuelga por debajo de la asíntota, no por encima.
Cero: el 0 pertenece a (−∞, 6), así que existe:
Inversa: escribo y = 6 − e5x+10 y despejo x desarmando de afuera hacia adentro:
Dominio e imagen de la inversa: se copian cruzados, no se recalculan.
Control 1 (coherencia interna): el argumento del logaritmo de la inversa es 6 − x, que es positivo exactamente cuando x < 6. Coincide con el dominio que copiamos ✔
Control 2 (composición): con x = 5, f−1(5) = (ln(1) − 10)/5 = −2, y f(−2) = 6 − e0 = 5 ✔
Dónde se pierde el punto: escribir Im f = (6, +∞) por inercia, sin mirar el signo menos, y dividir sólo el ln por 5 olvidando que el −10 también va dividido.
Dónde se cae la mayoría
- Dar C⁻ arrancando en −∞ en una función logarítmica: no puede haber signo fuera del dominio.
- Buscar el dominio de una exponencial planteando una desigualdad. El dominio de cualquier exponencial es ℝ; el que restringe es el logaritmo.
- Olvidar dar vuelta la desigualdad al despejar el dominio de un logaritmo con la x negativa, como en ln(5 − 2x).
- Recalcular el dominio de la inversa desde cero en vez de copiarlo de la imagen de f, que ya estaba hecha.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Dominio, imagen, asíntotas e inversa →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — La exponencial completa20 puntos · resuelto paso a paso
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