Matemática (51) · Unidad 6 — Integrales
Primitivas e integrales inmediatas
Integrar es derivar al revés: buscar la función que, al derivarla, te da la que tenés. Y como eso lo cumplen infinitas funciones que difieren en una constante, la respuesta nunca es una sola: es toda una familia.
La explicación
Para qué sirve dar vuelta la derivada
Hasta acá, dado un movimiento sabías sacar la velocidad; dada una curva, la pendiente. Integrar es el camino de vuelta: tenés la velocidad y querés la posición, tenés la razón de cambio y querés la cantidad. Ese camino de vuelta es lo que se llama primitiva.
Y se escribe con el signo de integral, que no es más que una notación para «la familia de todas las primitivas»:
Por qué son infinitas: la constante C
Si F′ = f, entonces (F + 7)′ = f también, porque la derivada de una constante es 0. Todas las primitivas de una misma f son la misma curva desplazada verticalmente: tienen exactamente la misma pendiente en cada x, y por eso ninguna cuenta puede distinguirlas.
Olvidarse la C no es un detalle de prolijidad. Cuando después te pidan la primitiva que cumple una condición, sin C no tenés qué ajustar y el ejercicio se vuelve imposible.
La tabla que hay que tener de memoria
∫ (1/x) dx = ln|x| + C ← éste es el caso n = −1
∫ ex dx = ex + C
∫ cos(x) dx = sen(x) + C · ∫ sen(x) dx = −cos(x) + C
Fijate el signo de las dos últimas: derivando, el menos aparece en el coseno; integrando, aparece en el seno. Es el error de signo más frecuente de toda la unidad.
Cuando adentro hay kx: el 1/k
Si en vez de x adentro hay kx o kx + b, la primitiva es la misma pero dividida por k:
∫ cos(kx) dx = sen(kx)/k + C
La razón es la regla de la cadena: al derivar e3x sale un 3 de adelante, así que al integrar hay que descontarlo. Ese 1/k no se adivina, se verifica derivando.
Linealidad: se parte y se saca afuera
O sea: una suma se integra término por término y las constantes que multiplican salen afuera. Lo que no vale es partir un producto o un cociente: ∫f·g no es ∫f · ∫g. Para eso están los métodos de los dos temas que siguen.
2. Escribí cada potencia como xn, incluso las raíces (√x = x1/2) y los cocientes (1/x³ = x−3).
3. Aplicá la tabla a cada término, cuidando el 1/k si adentro hay kx.
4. Sumá una sola C al final, no una por término.
5. Derivá lo que te dio y comparalo con el integrando.
La primitiva que cumple una condición
Cuando además te dan un dato del tipo F(x0) = y0, de toda la familia queda una sola. Se integra con la C puesta, se reemplaza x por x0, se iguala a y0 y se despeja C. El dato entra al final, nunca en el medio de la integración.
El control que nunca falla
Derivá tu resultado. Si volvés exactamente al integrando, está bien, y no hay discusión posible: la definición de primitiva es justo ésa. Es el único tema del año donde podés corregirte solo con certeza absoluta, así que no hay excusa para entregar una integral sin haberla derivado.
Calcular ∫ (6x^2 − 8x + 5 − 3/x) dx.
Planteo: es una suma de cuatro términos, así que por linealidad se integra cada uno por separado y las constantes salen afuera. No hay ningún producto ni composición, o sea que todo sale de la tabla.
Término por término:
∫5 dx = 5x · ∫(3/x) dx = 3·ln|x|
Ojo con el último: 3/x no se integra con la regla de la potencia. Sería x−1, y ahí n + 1 = 0: quedaría dividido por cero. Ése es exactamente el caso que cubre el logaritmo.
Se arma la respuesta respetando los signos del enunciado y con una sola constante:
Control (derivar): (2x³)′ = 6x², (−4x²)′ = −8x, (5x)′ = 5, (−3ln|x|)′ = −3/x, (C)′ = 0. Sumando vuelvo a 6x² − 8x + 5 − 3/x ✔
Dónde se pierde el punto: escribir el último término como (3/x²)·algo, o poner el módulo de más o de menos. El ln va con módulo porque 1/x también existe para x negativo.
Hallar la función f que cumple f prima de x = 3·e^(3x) + 8x y f(0) = 5. Calcular después f(1).
Planteo: me dan la derivada y quieren la función, así que hay que integrar. La condición f(0) = 5 sirve recién al final, para elegir una de todas las primitivas.
Primero la familia completa. El primer término tiene 3x adentro de la exponencial, así que aparece el 1/3 y se cancela con el 3 de adelante:
Ahora entra el dato. Reemplazo x = 0 y uso que e0 = 1:
1 + C = 5 → C = 4
Acá se cae mucha gente: dan por hecho que en x = 0 todo se anula y escriben C = 5. La exponencial en 0 vale 1, no 0.
El valor pedido: f(1) = e³ + 4 + 4 = e³ + 8 ≈ 28,09.
Control doble: derivando, f′(x) = 3e3x + 8x ✔ (vuelvo al dato). Y reemplazando, f(0) = 1 + 0 + 4 = 5 ✔ (se cumple la condición). Las dos cosas hay que chequearlas: la derivada controla la integración y el reemplazo controla la C.
Dónde se pierde el punto: poner e3x/3 (ya venía multiplicado por 3, así que se simplifica) y dar como respuesta la familia con C sin despejarla. Si el enunciado da una condición, la respuesta es una función.
Dónde se cae la mayoría
- Olvidarse el + C, y después no tener qué despejar cuando dan una condición.
- Usar x^(n+1)/(n+1) con n = −1: ahí quedaría dividido por cero, y el caso 1/x da ln|x|.
- Cambiar el signo al revés: escribir ∫sen(x) dx = cos(x) en vez de −cos(x).
- Perder el 1/k en e^(kx) o en sen(kx), que es el factor que deja la regla de la cadena.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Primitivas e integrales inmediatas →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — Por partes, Barrow y el área20 puntos · resuelto paso a paso
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Integrales