Matemática (51) · Unidad 6 — Integrales
Integral definida y regla de Barrow
La integral definida nace de aproximar un área con rectángulos cada vez más finos, y Barrow dice que ese límite —que parece imposible de calcular— se obtiene con una simple resta de la primitiva en los dos extremos.
La explicación
De dónde sale: rectángulos que se afinan
Para medir el área entre una curva y el eje x en un intervalo [a, b], se parte el intervalo en n pedacitos y se pone un rectángulo sobre cada uno. La suma de esos rectángulos se llama suma de Riemann, y no da el área exacta: se pasa un poco o le falta un poco.
Pero cuanto más finos son los rectángulos, menos se equivoca. El sobrante se achica con cada división, y en el límite desaparece:
Ese límite es un número, no una función. Ésa es la primera diferencia con la integral indefinida del tema 6.1, que era una familia de funciones.
La regla de Barrow
Calcular ese límite a mano sería una pesadilla. Barrow lo resuelve de una manera casi increíble: alcanza con conocer una primitiva.
Cualquiera, y ahí está el detalle lindo: si en vez de F usás F + C, te queda (F(b) + C) − (F(a) + C) y la constante se cancela. Por eso en una integral definida no se escribe C: no cambiaría nada.
2. Escribila entre corchetes con los límites: [F(x)] de a hasta b.
3. Reemplazá primero el de arriba, después el de abajo, y restá en ese orden.
4. Cuidado con los paréntesis al restar F(a): si F(a) es negativa, restarla suma.
Las propiedades que se usan
∫ab f = ∫ac f + ∫cb f (partir el intervalo)
∫ba f = − ∫ab f (dar vuelta los límites cambia el signo)
∫aa f = 0
Estas propiedades permiten resolver ejercicios sin conocer f: si te dicen cuánto vale una integral, podés calcular otras armadas con la misma f.
Sustitución en una integral definida
Hay dos caminos y los dos son correctos, pero no se pueden mezclar:
- Cambiar los límites: si u = x² + 9 y x va de 0 a 4, entonces u va de 9 a 25, y se evalúa en u.
- Volver a x antes de evaluar, y recién ahí usar los límites originales.
El error grave es evaluar la primitiva en u usando los límites de x. Ahí el resultado es otro número, sin aviso de ningún tipo.
Una integral negativa NO es un área
Donde f está por debajo del eje, los rectángulos tienen altura negativa y restan. Entonces:
Y si f cambia de signo adentro del intervalo, los pedazos se cancelan entre sí: la integral puede dar 0 sin que la región tenga área nula. Para calcular un área hay que partir el intervalo en las raíces y sumar los valores absolutos de cada pedazo.
El control
Antes de la cuenta, mirá el signo que tiene que dar: si la función es positiva en todo el intervalo, la integral tiene que dar positiva, y punto. Si te da negativa, hay un error, casi siempre en el orden de la resta de Barrow.
Calcular la integral definida de x^2 entre 0 y 2, y comparar con la suma de Riemann de 4 rectángulos.
Planteo: primero la cuenta exacta con Barrow, y después la aproximación, para ver que se parecen.
Una primitiva, sin C porque se cancelaría:
Barrow, reemplazando primero el extremo de arriba:
La aproximación con 4 rectángulos, tomando la altura en el punto medio de cada pedacito. Con n = 4 el ancho es 0,5 y los puntos medios son 0,25 · 0,75 · 1,25 · 1,75:
Con apenas cuatro rectángulos ya está a menos de 0,05 del valor exacto. Con cuarenta, la diferencia no se vería en el dibujo: eso es lo que significa que la suma converge.
Control: en [0, 2] la parábola x² queda siempre por debajo de la recta y = 2x, así que la región está contenida en el triángulo de vértices (0,0), (2,0) y (2,4), que mide 2·4/2 = 4. Nuestro 2,67 es menor ✔ Un resultado como 9 se descartaba sin hacer ninguna cuenta.
Dónde se pierde el punto: olvidarse de multiplicar la suma de las alturas por el ancho de los rectángulos. Un área es base por altura, no una suma de alturas sueltas.
Calcular la integral definida de x^2 − x − 2 entre −1 y 2. Decir después cuánto vale el área encerrada entre la curva y el eje x en ese intervalo.
Planteo: son dos preguntas distintas y la respuesta no va a ser la misma. Conviene arrancar mirando el signo de la función.
El signo. Las raíces de x² − x − 2 son −1 y 2 (se factoriza como (x+1)(x−2)), o sea exactamente los extremos del intervalo. Entre ellas la parábola está debajo del eje: en x = 0 vale −2. Entonces la integral va a dar negativa, y lo sabemos antes de calcular.
Una primitiva:
Barrow. En el extremo de arriba:
En el de abajo, con cuidado con los signos de las potencias impares:
El área, que es otra cosa. Como la función es negativa en todo el intervalo (no cambia de signo adentro), el área es el valor absoluto:
Control: el signo negativo era el esperado, porque la parábola está bajo el eje ✔ Y el tamaño: la región entra en un rectángulo de base 3 y altura 2,25 (el mínimo de la parábola es −2,25), que mide 6,75; 4,5 es menor ✔
Dónde se pierde el punto: contestar −4,5 cuando preguntan el área, o cambiarle el signo a la integral «porque un área no puede ser negativa». Las dos respuestas se piden por separado justamente porque son distintas.
Dónde se cae la mayoría
- Restar al revés: hacer F(a) − F(b) en vez de F(b) − F(a).
- Arrastrar la constante C en una integral definida, cuando se cancela sola.
- Evaluar la primitiva escrita en u usando los límites de x, sin haber cambiado los extremos.
- Dar una integral negativa como si fuera un área, o suponer que si la integral da 0 la región no tiene área.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Integral definida y regla de Barrow →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — Por partes, Barrow y el área20 puntos · resuelto paso a paso
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