Matemática (51) · Unidad 6 — Integrales

Método de sustitución

Si en el integrando aparece una función y —multiplicando— su derivada, se la puede llamar u y la integral se derrumba a una de la tabla. Todo el método es reconocer ese par.

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La explicación

Cuándo se usa

La sustitución es la regla de la cadena leída al revés. Sirve cuando en el integrando hay una función metida adentro de otra y, multiplicando, aparece (casi) la derivada de esa función de adentro.

∫ f(u(x))·u′(x) dx = ∫ f(u) du = F(u(x)) + C

El «casi» es importante: si lo que sobra o falta es un número, se arregla multiplicando y dividiendo. Si lo que falta es una x, la sustitución no sirve y hay que probar otro método.

El procedimiento

1. Elegí u: casi siempre es lo que está adentro —el exponente, el argumento del seno, lo de abajo del logaritmo, lo de adentro de la raíz o del paréntesis elevado—.
2. Derivá: du = u′(x) dx. Escribilo así, con el dx, que es lo que después se reemplaza.
3. Despejá dx y cambiá TODO a u. Si después del cambio quedó alguna x suelta, la elección de u estaba mal.
4. Integrá en u, que ahora tiene que ser una de la tabla.
5. Volvé a x reemplazando u por su expresión. La respuesta de un ejercicio en x no puede estar escrita en u.

Los cinco casos que aparecen siempre

∫ x·sen(x²) dx  → u = x², du = 2x dx  → −cos(x²)/2 + C
∫ e^3x+1 dx  → u = 3x+1, du = 3 dx  → e^3x+1/3 + C
∫ ln(x)/x dx  → u = ln(x), du = dx/x  → ln²(x)/2 + C
∫ x/(x²+1) dx  → u = x²+1, du = 2x dx  → ln(x²+1)/2 + C
∫ (2x+1)⁵ dx  → u = 2x+1, du = 2 dx  → (2x+1)⁶/12 + C

Mirá el tercero: el 1/x que está dividiendo es la derivada del logaritmo. Ese es el disfraz más común del método: la derivada no siempre aparece multiplicando a la vista, a veces está como denominador.

Qué hacer con la constante que sobra

En ∫x·sen(x²) dx la derivada de u es 2x y vos tenés x, o sea la mitad. No es un problema: las constantes entran y salen de la integral libremente.

x dx = (1/2)·2x dx = (1/2) du

Por eso aparece el 1/2 adelante. Ojo con la diferencia: un número se puede acomodar así; una x no. Si te falta una x, no la inventes multiplicando y dividiendo por x: eso está mal.

Los dos errores que matan el ejercicio

El primero es no volver a la variable original: terminar el ejercicio escribiendo «u⁶/12» cuando la pregunta era sobre x. El segundo es cambiar la función pero no el dx, que hace que el factor quede mal.

El control

El mismo de siempre, y acá es más útil todavía porque hay una cadena de por medio: derivá tu resultado. Si aparece de nuevo el factor de adentro y volvés al integrando, la sustitución estuvo bien hecha.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Calcular ∫ x·sen(x^2) dx.

Planteo: adentro del seno hay x², y afuera hay una x multiplicando. La derivada de x² es 2x, o sea la x que tengo salvo un número. Ése es exactamente el patrón de la sustitución.

Elijo u y derivo:

u = x² → du = 2x dx → x dx = du/2

Cambio todo: el sen(x²) pasa a ser sen(u), y el «x dx» entero pasa a ser du/2. Fijate que no quedó ninguna x suelta: ésa es la señal de que la elección fue la correcta.

∫ sen(x²)·x dx = ∫ sen(u)·(du/2) = (1/2)·∫ sen(u) du

Integro en u, que ahora es de tabla, sin olvidar el signo del seno:

(1/2)·(−cos(u)) + C = −cos(u)/2 + C

Vuelvo a x, que es el paso que más se olvida:

∫ x·sen(x²) dx = −cos(x²)/2 + C

Control (derivar): derivo −cos(x²)/2. Por cadena queda −(1/2)·(−sen(x²))·2x = x·sen(x²) ✔ Volví al integrando, y de paso se ve de dónde sale el 2 que el 1/2 estaba compensando.

Dónde se pierde el punto: escribir −cos(x²) sin el 1/2, y dejar la respuesta en u.

Y uno del nivel del parcial

Hallar la función f tal que f prima de x = x/raíz(x^2+16) y f(0) = 1. Calcular f(3).

Planteo: hay que integrar y después usar el dato. Adentro de la raíz está x²+16, cuya derivada es 2x, y afuera hay una x: patrón de sustitución.

Sustitución:

u = x² + 16 → du = 2x dx → x dx = du/2

∫ x/√(x²+16) dx = (1/2)·∫ u^−1/2 du

Integro con la regla de la potencia: el exponente −1/2 sube a 1/2 y se divide por 1/2, o sea se multiplica por 2:

(1/2)·2·u^1/2 + C = √u + C → f(x) = √(x²+16) + C

El 1/2 de la sustitución y el 2 de la potencia se cancelan: por eso la respuesta queda tan limpia. Conviene no simplificarlos antes de tiempo, para no perder ninguno de los dos.

Ahora el dato. f(0) = √16 + C = 4 + C, y tiene que dar 1:

4 + C = 1 → C = −3 → f(x) = √(x²+16) − 3

El valor pedido: f(3) = √(9+16) − 3 = 5 − 3 = 2.

Control doble: derivando √(x²+16) sale 2x/(2√(x²+16)) = x/√(x²+16) ✔; y f(0) = 4 − 3 = 1 ✔.

Dónde se pierde el punto: tomar √16 como 8 o como 2 al reemplazar, y dar la respuesta con C sin despejar. Cuando hay condición, la respuesta es una función concreta.

Dónde se cae la mayoría

Terminar la respuesta en u, sin volver a x.
Cambiar la función pero dejar el dx sin reemplazar, y perder así el factor 1/k.
Inventar la x que falta multiplicando y dividiendo por x: sólo las constantes entran y salen de la integral.
Elegir como u la expresión de afuera en vez de la de adentro, y quedarse con una integral peor que la original.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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